Номер 26.17, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.17. Плоскость проходит через сторону основания треугольной пирамиды и середину противолежащего бокового ребра (рис. 26.7).

В каком отношении эта плоскость

делит объем пирамиды?

Рис. 26.7

Дано:

Пирамида $SABC$ с основанием $ABC$ и вершиной $S$.
$D$ - середина бокового ребра $SC$, то есть $SD = DC$.
Секущая плоскость проходит через сторону основания $AB$ и точку $D$.

Найти:

Отношение, в котором плоскость $(ABD)$ делит объем пирамиды $SABC$.

Решение:

Обозначим объем исходной пирамиды $SABC$ как $V$. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S$, где $S_{ABC}$ - площадь основания $ABC$, а $h_S$ - высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания $(ABC)$.

Секущая плоскость $(ABD)$ делит пирамиду $SABC$ на два тела:

1. Четырехугольную пирамиду $DABC$ (или тетраэдр $ABCD$) с основанием $ABC$ и вершиной $D$.

2. Тетраэдр $SABD$ с основанием $ABD$ и вершиной $S$.

Найдем объем первого тела – пирамиды $DABC$. Обозначим его $V_1$. $V_1 = V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D$, где $h_D$ - высота пирамиды $DABC$, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $(ABC)$.

Найдем связь между высотами $h_S$ и $h_D$. Высота точки над плоскостью — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть $S'$ и $D'$ — проекции точек $S$ и $D$ на плоскость основания $(ABC)$. Тогда $h_S = SS'$ и $h_D = DD'$. Точка $C$ лежит в плоскости основания, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой, а ее высота равна нулю.

Рассмотрим отрезок $SC$. Точка $D$ является его серединой. Прямые $SS'$ и $DD'$ параллельны друг другу (так как обе перпендикулярны плоскости $(ABC)$). По теореме Фалеса (или из подобия треугольников, образованных отрезком $SC$ и перпендикулярами), высота точки $D$ над плоскостью $(ABC)$ равна среднему арифметическому высот точек $S$ и $C$. $h_D = \frac{h_S + h_C}{2}$ Поскольку точка $C$ лежит в плоскости основания, ее высота $h_C = 0$. Следовательно, $h_D = \frac{h_S + 0}{2} = \frac{1}{2} h_S$.

Теперь можем вычислить объем $V_1$: $V_1 = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot \left(\frac{1}{2} h_S\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S\right) = \frac{1}{2} V_{SABC} = \frac{1}{2} V$.

Объем второго тела, тетраэдра $SABD$, обозначим как $V_2$. Сумма объемов двух частей, на которые плоскость делит пирамиду, равна объему исходной пирамиды: $V_1 + V_2 = V$.

Отсюда находим $V_2$: $V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{2} V = \frac{1}{2} V$.

Таким образом, плоскость $(ABD)$ делит объем пирамиды $SABC$ на два тела с равными объемами.

Искомое отношение объемов равно: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{2}V}{\frac{1}{2}V} = \frac{1}{1}$.

Ответ: $1:1$.