Номер 26.10, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.10. Параллельно основанию пирамиды проведено сечение, деля-щее высоту пополам. В каком отношении находятся объемы полученных частей пирамиды?

Дано:

Исходная пирамида с объемом $V$ и высотой $H$.

Сечение, параллельное основанию, делит высоту $H$ пополам.

Найти:

Отношение объемов двух частей, на которые сечение разделило исходную пирамиду.

Решение:

Пусть $V$ и $H$ — объем и высота исходной пирамиды, а $S$ — площадь ее основания. Объем исходной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S H$

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду (верхнюю часть), подобную исходной. Обозначим объем, высоту и площадь основания этой меньшей пирамиды как $V_1$, $h_1$ и $S_1$ соответственно.

По условию задачи, плоскость сечения делит высоту исходной пирамиды пополам. Следовательно, высота меньшей пирамиды $h_1$ равна половине высоты исходной пирамиды $H$:

$h_1 = \frac{H}{2}$

Отношение высот подобных пирамид является коэффициентом подобия $k$:

$k = \frac{h_1}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента их подобия:

$\frac{V_1}{V} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Таким образом, объем верхней части (меньшей пирамиды) равен:

$V_1 = \frac{1}{8}V$

Вторая часть, полученная при сечении, — это усеченная пирамида (нижняя часть). Ее объем $V_2$ можно найти как разность объемов исходной пирамиды и отсеченной верхней пирамиды:

$V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$

Теперь найдем отношение объемов полученных частей, то есть отношение объема верхней части $V_1$ к объему нижней части $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V} = \frac{1}{7}$

Следовательно, объемы полученных частей относятся как 1 к 7.

Ответ: Объемы полученных частей пирамиды находятся в отношении 1:7.