Номер 26.9, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.9. Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки:

а) $A, B, C, D, B_1$;

б) $A, B, D, C_1$ (рис. 26.5).

Рис. 26.5

Дано:

Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $V = 1$ см³.

Перевод в систему СИ:

$V = 1 \text{ см}^3 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

$V_a$ - объем многогранника с вершинами $A, B, C, D, B_1$.

$V_б$ - объем многогранника с вершинами $A, B, D, C_1$.

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота. В нашем случае основанием является параллелограмм $ABCD$, поэтому $V = S_{ABCD} \cdot H = 1$ см³.

а) A, B, C, D, B₁;

Многогранник с указанными вершинами представляет собой четырехугольную пирамиду $B_1ABCD$. Основанием этой пирамиды является параллелограмм $ABCD$, который также является основанием всего параллелепипеда. Следовательно, площадь основания пирамиды $S_{пир.осн.} = S_{ABCD}$. Высота пирамиды, опущенная из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABCD$, совпадает с высотой параллелепипеда $H$.

Объем пирамиды находится по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Таким образом, объем искомого многогранника $V_a$ равен:

$V_a = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot H = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{1}{3}$ см³.

б) A, B, D, C₁;

Многогранник с указанными вершинами является тетраэдром (треугольной пирамидой) $C_1ABD$. В качестве основания этого тетраэдра выберем треугольник $ABD$.

Диагональ $BD$ делит основание параллелепипеда (параллелограмм $ABCD$) на два равных по площади треугольника. Следовательно, площадь основания тетраэдра $S_{ABD}$ равна половине площади основания параллелепипеда: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Высота тетраэдра, опущенная из вершины $C_1$ на плоскость основания $ABD$ (то есть на плоскость $ABCD$), совпадает с высотой параллелепипеда $H$.

Объем тетраэдра вычисляется по той же формуле, что и объем пирамиды: $V_{тетр} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Подставляя наши данные, находим объем многогранника $V_б$:

$V_б = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot H = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} S_{ABCD} \right) \cdot H = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot H) = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{1}{6}$ см³.