Номер 26.13, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.13. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 1 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Треугольная пирамида, у которой боковые ребра взаимно перпендикулярны.
Длина каждого бокового ребра: $l = 1$ см.

$l = 0.01$ м.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Обозначим вершину пирамиды, из которой выходят взаимно перпендикулярные ребра, как $S$, а вершины основания - как $A$, $B$ и $C$. Таким образом, у нас есть пирамида $SABC$ с боковыми ребрами $SA$, $SB$ и $SC$.
Согласно условию задачи, эти ребра взаимно перпендикулярны: $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SA \perp SC$.
Длина каждого из этих ребер составляет 1 см: $SA = SB = SC = 1$ см.
Объем пирамиды находится по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,
где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.
В качестве основания пирамиды мы можем выбрать одну из боковых граней, например, треугольник $\triangle ASB$.
Поскольку ребра $SA$ и $SB$ перпендикулярны, треугольник $\triangle ASB$ является прямоугольным, а его катеты равны $SA$ и $SB$.
Площадь этого основания вычисляется как:
$S_{осн} = S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}^2$.
Так как ребро $SC$ перпендикулярно ребрам $SA$ и $SB$, оно перпендикулярно и плоскости, в которой лежит треугольник $\triangle ASB$.
Следовательно, ребро $SC$ является высотой пирамиды, проведенной к основанию $ASB$.
Таким образом, высота $h = SC = 1$ см.
Теперь мы можем рассчитать объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 0.5 \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = \frac{0.5}{3} \text{ см}^3 = \frac{1}{6} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} \text{ см}^3$.