Номер 26.14, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.14. Найдите объем треугольной пирамиды, если ее боковые ребра равны 1 см, а плоские углы при вершине равны $60^\circ$, $90^\circ$ и $90^\circ$.

Дано:

Треугольная пирамида
Длина боковых ребер $l = 1 \text{ см}$
Плоские углы при вершине: $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 90^\circ$, $\gamma = 90^\circ$

$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Пусть S — вершина пирамиды, а SA, SB, SC — ее боковые ребра. По условию, $SA = SB = SC = 1 \text{ см}$.

Пусть плоские углы при вершине S будут $\angle BSC = 90^\circ$, $\angle CSA = 90^\circ$ и $\angle ASB = 60^\circ$.

Условия $\angle BSC = 90^\circ$ и $\angle CSA = 90^\circ$ означают, что боковое ребро SC перпендикулярно двум другим боковым ребрам, SA и SB.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая (SC) перпендикулярна двум пересекающимся прямым (SA и SB), лежащим в плоскости (ASB), то она перпендикулярна этой плоскости.

Таким образом, мы можем рассматривать данную пирамиду как пирамиду, у которой основанием является треугольник ASB, а высотой — ребро SC.

Найдем площадь основания $S_{осн} = S_{ASB}$. Треугольник ASB является равнобедренным, так как $SA = SB = 1 \text{ см}$, а угол между этими сторонами равен $\angle ASB = 60^\circ$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

$S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{осн} = S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.

Высота пирамиды $H$ равна длине ребра SC, так как ребро SC перпендикулярно плоскости основания ASB.

$H = SC = 1 \text{ см}$.

Теперь можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.