Номер 26.29, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.29. Два противолежащих ребра тетраэдра перпендикулярны и равны 3 см. Расстояние между ними равно 2 см. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Тетраэдр, у которого два противолежащих (скрещивающихся) ребра имеют следующие характеристики:

Длина первого ребра, $a = 3$ см.

Длина второго ребра, $b = 3$ см.

Ребра перпендикулярны, то есть угол между ними $\alpha = 90^\circ$.

Расстояние между этими ребрами, $d = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.03$ м

$b = 0.03$ м

$d = 0.02$ м

Найти:

Объем тетраэдра $V$.

Решение:

Объем тетраэдра можно вычислить по формуле, которая связывает длины двух его скрещивающихся ребер, расстояние между ними и угол между ними:

$V = \frac{1}{6} a b d \sin\alpha$

где $a$ и $b$ — это длины скрещивающихся ребер, $d$ — расстояние между ними (длина их общего перпендикуляра), а $\alpha$ — угол между прямыми, на которых лежат эти ребра.

Эта формула выводится методом сечений (принцип Кавальери). Если расположить общий перпендикуляр ребер вдоль оси $Oz$, а сами ребра в плоскостях $z=0$ и $z=d$, то объем тетраэдра можно найти, проинтегрировав площадь его поперечного сечения $S(z)$ по высоте от $0$ до $d$. Площадь сечения является параллелограммом и равна $S(z) = \left(a \frac{d-z}{d}\right) \left(b \frac{z}{d}\right) \sin\alpha$. Интегрирование этой функции дает указанную выше формулу для объема.

Согласно условию задачи, данные ребра перпендикулярны, это означает, что угол между ними $\alpha = 90^\circ$.

Найдем синус этого угла:

$\sin\alpha = \sin(90^\circ) = 1$

Теперь подставим все известные значения в формулу объема. Для удобства будем использовать исходные единицы измерения (сантиметры), так как они согласованы.

$a = 3$ см

$b = 3$ см

$d = 2$ см

$V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin(90^\circ)$

$V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$V = \frac{18}{6} \text{ см}^3$

$V = 3 \text{ см}^3$

Ответ: $3 \text{ см}^3$.