Номер 26.35, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.35. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 26.17) найдите объем общей части двух пирамид $A_1ABCD$ и $DBCC_1B_1$.

Рис. 26.17

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - единичный.
Ребро куба $a = 1$.
Пирамида $P_1$ с вершиной $A_1$ и основанием $ABCD$.
Пирамида $P_2$ с вершиной $D$ и основанием $BCC_1B_1$.

Найти:

Объем общей части пирамид $P_1$ и $P_2$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат, ось $Ox$ направим по ребру $AB$, ось $Oy$ - по ребру $AD$, ось $Oz$ - по ребру $AA_1$.В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты:
$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Искомый объем является объемом многогранника, который является пересечением двух пирамид $P_1 = A_1ABCD$ и $P_2 = DBCC_1B_1$. Найдем вершины этого многогранника.

Вершины многогранника пересечения принадлежат обеим пирамидам. Проверим, какие из вершин куба являются общими для двух пирамид.
Вершина $B(1,0,0)$ принадлежит основанию $ABCD$ пирамиды $P_1$ и основанию $BCC_1B_1$ пирамиды $P_2$, следовательно, принадлежит обеим пирамидам.
Вершина $C(1,1,0)$ принадлежит основанию $ABCD$ пирамиды $P_1$ и основанию $BCC_1B_1$ пирамиды $P_2$, следовательно, принадлежит обеим пирамидам.
Вершина $D(0,1,0)$ принадлежит основанию $ABCD$ пирамиды $P_1$ и является вершиной пирамиды $P_2$, следовательно, принадлежит обеим пирамидам.
Таким образом, точки $B$, $C$, $D$ являются вершинами искомого многогранника. Они лежат в одной плоскости $z=0$ и образуют треугольник $BCD$.

Другие вершины многогранника пересечения могут образовываться при пересечении ребер и граней исходных пирамид. Найдем точку пересечения боковых граней пирамид, наиболее удаленную от основания $z=0$. Эти грани задаются следующими плоскостями:
Для пирамиды $P_1$: грань $A_1BC$ лежит в плоскости $x+z=1$, а грань $A_1DC$ - в плоскости $y+z=1$.
Для пирамиды $P_2$: грань $DBB_1$ лежит в плоскости $x+y=1$, а грань $DB_1C_1$ - в плоскости $x=z$.
Найдем точку пересечения этих четырех плоскостей, решив систему уравнений:$\begin{cases}x+z=1 \\y+z=1 \\x+y=1 \\x=z\end{cases}$
Подставив $x=z$ в первое уравнение, получаем $x+x=1$, откуда $2x=1$ и $x=1/2$. Следовательно, $z=1/2$.
Подставив $x=1/2$ в третье уравнение, получаем $1/2+y=1$, откуда $y=1/2$.
Проверим найденные значения по второму уравнению: $y+z = 1/2 + 1/2 = 1$. Решение верно.

Таким образом, боковые грани пересекаются в точке $K(1/2, 1/2, 1/2)$, которая является центром куба. Эта точка принадлежит обеим пирамидам и является четвертой вершиной искомого многогранника.

Общая часть двух пирамид представляет собой тетраэдр (треугольную пирамиду) $KBCD$.Основанием этого тетраэдра является треугольник $BCD$, лежащий в плоскости $z=0$. Найдем его площадь.Вершины основания: $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$.Найдем векторы сторон, выходящих из вершины $C$: $\vec{CB}=(1-1, 0-1, 0-0)=(0,-1,0)$ и $\vec{CD}=(0-1, 1-1, 0-0)=(-1,0,0)$.Длины этих векторов равны $|\vec{CB}|=1$ и $|\vec{CD}|=1$.Их скалярное произведение $\vec{CB} \cdot \vec{CD} = 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$, значит, угол между ними $90^\circ$.Следовательно, треугольник $BCD$ является прямоугольным с катетами длиной 1.Площадь основания $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{CB}| \cdot |\vec{CD}| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Высотой тетраэдра $KBCD$, опущенной из вершины $K$ на плоскость основания $BCD$ (плоскость $z=0$), является z-координата точки $K$.Высота $h = 1/2$.

Объем тетраэдра $KBCD$ (объем общей части) вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.

Ответ: Объем общей части двух пирамид равен $\frac{1}{12}$.