Номер 26.38, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.38. На двух скрещивающихся прямых $a$ и $b$ расположены два отрезка соответственно $A_1A_2$ и $B_1B_2$ (рис. 26.18). Докажите, что объем тетраэдра $A_1A_2B_1B_2$ не зависит от положений этих отрезков на прямых, а зависит только от их длины.

Рис. 26.18

Дано:

Скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.

Отрезок $A_1A_2$ лежит на прямой $a$, его длина $|A_1A_2| = L_a$.

Отрезок $B_1B_2$ лежит на прямой $b$, его длина $|B_1B_2| = L_b$.

Тетраэдр $A_1A_2B_1B_2$.

Требуется доказать:

Объем тетраэдра $V_{A_1A_2B_1B_2}$ не зависит от положения отрезков $A_1A_2$ и $B_1B_2$ на прямых $a$ и $b$, а зависит только от их длин $L_a$ и $L_b$.

Решение:

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Объем тетраэдра, построенного на векторах $\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$, исходящих из одной вершины, равен одной шестой модуля их смешанного произведения: $V = \frac{1}{6} |(\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z}|$.

Рассмотрим тетраэдр $A_1A_2B_1B_2$. Выберем в качестве общей вершины точку $A_1$. Тогда объем тетраэдра можно выразить через векторы $\vec{A_1A_2}$, $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1B_2}$:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1B_1}) \cdot \vec{A_1B_2}|$

Вектор $\vec{A_1B_2}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{A_1B_2} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2}$.

Подставим это выражение в формулу для объема:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1B_1}) \cdot (\vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2})|$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1B_1}) \cdot \vec{A_1B_1} + (\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1B_1}) \cdot \vec{B_1B_2}|$

Первое слагаемое $(\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1B_1}) \cdot \vec{A_1B_1}$ представляет собой смешанное произведение компланарных векторов (вектор $\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1B_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{A_1B_1}$), поэтому оно равно нулю.

Таким образом, формула для объема упрощается:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1B_1}) \cdot \vec{B_1B_2}|$

Используя свойство циклической перестановки векторов в смешанном произведении, получим:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{B_1B_2} \times \vec{A_1A_2}) \cdot \vec{A_1B_1}|$

Теперь докажем, что этот объем не зависит от положения отрезков на прямых. Пусть отрезки $A_1A_2$ и $B_1B_2$ перемещаются вдоль своих прямых в новые положения $A'_1A'_2$ и $B'_1B'_2$. При этом векторы, соответствующие самим отрезкам, не меняются: $\vec{A'_1A'_2} = \vec{A_1A_2}$ и $\vec{B'_1B'_2} = \vec{B_1B_2}$.

Изменится только вектор, соединяющий их начальные точки: $\vec{A'_1B'_1}$. Свяжем его со старым вектором $\vec{A_1B_1}$:

$\vec{A'_1B'_1} = \vec{A'_1A_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B'_1}$

Вектор $\vec{A'_1A_1}$ коллинеарен вектору $\vec{A_1A_2}$, а вектор $\vec{B_1B'_1}$ коллинеарен вектору $\vec{B_1B_2}$.

Новый объем $V'$ будет равен:

$V' = \frac{1}{6} |(\vec{B'_1B'_2} \times \vec{A'_1A'_2}) \cdot \vec{A'_1B'_1}| = \frac{1}{6} |(\vec{B_1B_2} \times \vec{A_1A_2}) \cdot (\vec{A'_1A_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B'_1})|$

Раскроем скобки:

$V' = \frac{1}{6} | (\vec{B_1B_2} \times \vec{A_1A_2}) \cdot \vec{A'_1A_1} + (\vec{B_1B_2} \times \vec{A_1A_2}) \cdot \vec{A_1B_1} + (\vec{B_1B_2} \times \vec{A_1A_2}) \cdot \vec{B_1B'_1} |$

Смешанное произведение $(\vec{B_1B_2} \times \vec{A_1A_2}) \cdot \vec{A'_1A_1}$ равно нулю, так как векторы $\vec{A_1A_2}$ и $\vec{A'_1A_1}$ коллинеарны. Аналогично, смешанное произведение $(\vec{B_1B_2} \times \vec{A_1A_2}) \cdot \vec{B_1B'_1}$ равно нулю, так как векторы $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{B_1B'_1}$ коллинеарны.

Следовательно, $V' = \frac{1}{6} |(\vec{B_1B_2} \times \vec{A_1A_2}) \cdot \vec{A_1B_1}| = V$.

Это доказывает, что объем тетраэдра не зависит от положения отрезков на прямых.

Теперь покажем, что объем зависит от длин отрезков. Пусть $\vec{u_a}$ и $\vec{u_b}$ – единичные направляющие векторы прямых $a$ и $b$. Тогда $\vec{A_1A_2} = L_a \vec{u_a}$ и $\vec{B_1B_2} = L_b \vec{u_b}$.

$V = \frac{1}{6} |((L_b \vec{u_b}) \times (L_a \vec{u_a})) \cdot \vec{A_1B_1}| = \frac{1}{6} L_a L_b |(\vec{u_b} \times \vec{u_a}) \cdot \vec{A_1B_1}|$

Величина $|(\vec{u_b} \times \vec{u_a}) \cdot \vec{A_1B_1}|$ зависит только от геометрии прямых $a$ и $b$. Пусть $d$ – кратчайшее расстояние между прямыми $a$ и $b$, а $\alpha$ – угол между ними. Тогда $|(\vec{u_b} \times \vec{u_a}) \cdot \vec{A_1B_1}| = d \sin\alpha$. Эта величина является константой для заданных прямых.

Таким образом, объем тетраэдра выражается формулой:

$V = \frac{1}{6} L_a L_b d \sin\alpha$

Так как $d$ и $\sin\alpha$ являются постоянными для данных скрещивающихся прямых, объем $V$ зависит только от длин отрезков $L_a$ и $L_b$.

Ответ: Объем тетраэдра $A_1A_2B_1B_2$ определяется формулой $V = \frac{1}{6} |A_1A_2| \cdot |B_1B_2| \cdot d \cdot \sin\alpha$, где $|A_1A_2|$ и $|B_1B_2|$ – длины отрезков, $d$ – расстояние между скрещивающимися прямыми, а $\alpha$ – угол между ними. Поскольку $d$ и $\alpha$ для данных прямых постоянны, объем зависит только от длин отрезков, а не от их положения на прямых. Что и требовалось доказать.