Страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Доказательство аналогично доказательству формулы объема усеченной пирамиды. Проведите его самостоятельно.

Задание состоит в том, чтобы доказать формулу объема усеченного конуса, основываясь на аналогии с доказательством формулы объема усеченной пирамиды. Ниже приведено полное доказательство.

Дано:

Усеченный конус, у которого:

- высота равна $h$;

- радиус большего основания равен $R$;

- радиус меньшего основания равен $r$.

Найти:

Доказать, что объем усеченного конуса $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

Решение:

Объем усеченного конуса можно найти как разность объемов двух конусов: большого конуса, из которого был получен усеченный конус путем отсечения верхушки, и малого конуса, который и является этой отсеченной верхушкой.

Пусть $V$ – искомый объем усеченного конуса, $V_1$ – объем большого (полного) конуса, а $V_2$ – объем малого (отсеченного) конуса. Тогда $V = V_1 - V_2$.

Обозначим высоту большого конуса как $H$, а высоту малого конуса как $h_1$. Высота усеченного конуса $h$ связана с высотами полного и отсеченного конусов соотношением: $h = H - h_1$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H_{конуса}$. В нашем случае основаниями являются круги, поэтому их площади равны $\pi R^2$ и $\pi r^2$.

Объемы большого и малого конусов равны:

$V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

$V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1$

Следовательно, объем усеченного конуса равен:

$V = V_1 - V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 H - \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (R^2 H - r^2 h_1)$.

Для того чтобы выразить объем через $h$, $R$ и $r$, необходимо найти $H$ и $h_1$. Рассмотрим осевое сечение конусов. Оно представляет собой два подобных прямоугольных треугольника (если рассматривать половину сечения) или два подобных равнобедренных треугольника (полное сечение). Из подобия этих треугольников следует, что отношение их высот равно отношению радиусов оснований:

$\frac{H}{h_1} = \frac{R}{r}$

Из этого соотношения выразим $H$: $H = h_1 \frac{R}{r}$.

Подставим это выражение в формулу для высоты усеченного конуса $h = H - h_1$:

$h = h_1 \frac{R}{r} - h_1 = h_1 (\frac{R}{r} - 1) = h_1 \frac{R-r}{r}$.

Отсюда выразим высоту малого конуса $h_1$ через известные величины:

$h_1 = \frac{hr}{R-r}$.

Теперь найдем высоту большого конуса $H$:

$H = h + h_1 = h + \frac{hr}{R-r} = \frac{h(R-r) + hr}{R-r} = \frac{hR - hr + hr}{R-r} = \frac{hR}{R-r}$.

Теперь подставим полученные выражения для $H$ и $h_1$ в формулу для объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi (R^2 \cdot \frac{hR}{R-r} - r^2 \cdot \frac{hr}{R-r})$.

Вынесем общий множитель $\frac{\pi h}{R-r}$ за скобки:

$V = \frac{1}{3} \frac{\pi h}{R-r} (R^3 - r^3)$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$V = \frac{1}{3} \frac{\pi h}{R-r} (R-r)(R^2 + Rr + r^2)$.

Сократим множитель $(R-r)$ в числителе и знаменателе:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

Формула доказана. Стоит отметить, что это доказательство действительно полностью аналогично доказательству для усеченной пирамиды, где вместо $\pi R^2$ и $\pi r^2$ используются площади оснований $S_1$ и $S_2$, а отношение подобия $\frac{R}{r}$ заменяется на $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}}$.

Ответ:

Формула объема усеченного конуса $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$ доказана. Доказательство основано на представлении усеченного конуса как разности объемов полного конуса и отсеченного малого конуса. Что и требовалось доказать.