Страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.13. Мякоть вишни окружает косточку толщиной, равной диаметру косточки (рис. 28.7). Считая шарообразной форму вишни и косточки, найдите отношение объема мякоти к объему косточки.

Рис. 28.7

Дано:

Толщина слоя мякоти вишни, $t$, равна диаметру косточки, $d_к$.

$t = d_к$

Вишня и косточка имеют шарообразную форму.

Найти:

Отношение объема мякоти ($V_м$) к объему косточки ($V_к$): $\frac{V_м}{V_к}$

Решение:

Пусть радиус косточки вишни равен $r_к$. Тогда ее диаметр $d_к = 2r_к$.

Согласно условию задачи, толщина слоя мякоти $t$ равна диаметру косточки:

$t = d_к = 2r_к$

Радиус всей вишни $R_в$ складывается из радиуса косточки $r_к$ и толщины слоя мякоти $t$:

$R_в = r_к + t = r_к + 2r_к = 3r_к$

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Найдем объем косточки $V_к$, которая представляет собой шар радиусом $r_к$:

$V_к = \frac{4}{3}\pi r_к^3$

Найдем объем всей вишни $V_в$, которая является шаром радиусом $R_в = 3r_к$:

$V_в = \frac{4}{3}\pi R_в^3 = \frac{4}{3}\pi (3r_к)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27r_к^3 = 27 \cdot (\frac{4}{3}\pi r_к^3)$

Объем мякоти $V_м$ равен разности объемов всей вишни и косточки:

$V_м = V_в - V_к = 27 \cdot (\frac{4}{3}\pi r_к^3) - \frac{4}{3}\pi r_к^3 = (27-1) \cdot \frac{4}{3}\pi r_к^3 = 26 \cdot \frac{4}{3}\pi r_к^3$

Теперь найдем искомое отношение объема мякоти к объему косточки:

$\frac{V_м}{V_к} = \frac{26 \cdot \frac{4}{3}\pi r_к^3}{\frac{4}{3}\pi r_к^3} = 26$

Ответ: 26.

28.14. Апельсин имеет форму шара. Толщина его кожуры составляет одну пятую часть радиуса (рис. 28.6). Какую часть объема апельсина составляет его кожура?

Рис. 28.6

Дано:

Форма апельсина – шар.

Пусть $R$ – радиус всего апельсина.

Толщина кожуры $t = \frac{1}{5}R$.

Найти:

Какую часть объема апельсина составляет его кожура, то есть найти отношение $\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}}$.

Решение:

1. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

2. Объем всего апельсина (вместе с кожурой) равен:

$V_{апельсина} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

3. Апельсин без кожуры (мякоть) также представляет собой шар. Найдем его радиус, $r_{мякоти}$. Он равен радиусу всего апельсина за вычетом толщины кожуры:

$r_{мякоти} = R - t = R - \frac{1}{5}R = \frac{4}{5}R$.

4. Теперь найдем объем мякоти апельсина:

$V_{мякоти} = \frac{4}{3}\pi (r_{мякоти})^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{4}{5}R\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{64}{125}R^3\right)$.

5. Объем кожуры равен разности объемов всего апельсина и его мякоти:

$V_{кожуры} = V_{апельсина} - V_{мякоти} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi \frac{64}{125}R^3$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$V_{кожуры} = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 - \frac{64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{125 - 64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{61}{125}\right)$.

6. Чтобы найти, какую часть объема апельсина составляет кожура, разделим объем кожуры на объем всего апельсина:

$\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{61}{125}\right)}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.

Сократив одинаковые множители $\frac{4}{3}\pi R^3$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}} = \frac{61}{125}$.

Ответ: Кожура составляет $\frac{61}{125}$ часть объема апельсина.

28.15. Диаметр шара монумента Байтерек в Нур-Султане (рис. 28.8) равен 22 м. Найдите объем этого шара.

Рис. 28.8

Дано:

Диаметр шара $d = 22$ м.

Найти:

Объем шара $V$.

Решение:

Для нахождения объема шара используется формула:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

где $V$ — объем, а $r$ — радиус шара.

Радиус шара равен половине его диаметра. Найдем радиус:

$r = \frac{d}{2} = \frac{22 \text{ м}}{2} = 11 \text{ м}$

Теперь подставим значение радиуса в формулу для вычисления объема:

$V = \frac{4}{3} \pi (11 \text{ м})^3$

Вычислим куб радиуса:

$11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 121 \cdot 11 = 1331$

Подставим это значение обратно в формулу объема:

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 1331 \text{ м}^3 = \frac{5324}{3} \pi \text{ м}^3$

Ответ: объем шара равен $\frac{5324}{3}\pi \text{ м}^3$.

28.16. Найдите объем шара, описанного около правильной треугольной призмы, ребра которой равны 1 см (рис. 28.9).

Рис. 28.9

Дано:

Правильная треугольная призма, все ребра которой равны $1 \text{ см}$.
Сторона основания $a = 1 \text{ см}$.
Высота призмы (боковое ребро) $h = 1 \text{ см}$.

В системе СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем шара, описанного около призмы, $V_{шара}$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. Для нахождения объема необходимо определить радиус $R$ описанного шара.

Так как шар описан около правильной треугольной призмы, все ее вершины лежат на поверхности шара. Центр описанного шара $O$ равноудален от всех вершин призмы. В силу симметрии правильной призмы, ее центр $O$ лежит на середине отрезка $O_1O_2$, соединяющего центры оснований. Основания призмы — это равносторонние треугольники.

Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение стороны основания $a = 1 \text{ см}$: $r = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ см}$.

Радиус шара $R$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Этот треугольник образуют:

• один катет — расстояние от центра шара $O$ до центра основания $O_1$, которое равно половине высоты призмы: $\frac{h}{2}$;
• второй катет — радиус $r$ окружности, описанной около основания;
• гипотенуза — радиус шара $R$, соединяющий центр шара $O$ с одной из вершин основания.

Подставим известные значения $r = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ см}$ и $h = 1 \text{ см}$: $R^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $R^2 = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \text{ см}^2$.

Теперь, зная квадрат радиуса, можем вычислить объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (R^2 \cdot R) = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{7}{12} \cdot \sqrt{\frac{7}{12}}$.

Упростим выражение: $V_{шара} = \frac{28\pi}{36} \sqrt{\frac{7}{12}} = \frac{7\pi}{9} \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{12}} = \frac{7\pi\sqrt{7}}{9 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{7\pi\sqrt{7}}{18\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $V_{шара} = \frac{7\pi\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7\pi\sqrt{21}}{18 \cdot 3} = \frac{7\pi\sqrt{21}}{54}$.

Ответ: $V_{шара} = \frac{7\pi\sqrt{21}}{54} \text{ см}^3$.

28.17. Найдите объем шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром 1 см (рис. 28.10).

Рис. 28.10

Дано:

Правильный тетраэдр, ребро $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0,01$ м.

Найти:

Объем вписанного шара $V_{шара}$.

Решение:

Для нахождения объема вписанного шара необходимо сначала найти его радиус $r$. Формула объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

1. Найдем высоту правильного тетраэдра $H$. Пусть дан тетраэдр DABC с ребром $a$. Его высота $DH_1$ падает в центр основания $ABC$ — точку $H_1$, которая является центром вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника $ABC$.

2. Найдем радиус $R$ окружности, описанной около основания $ABC$. Пусть $AH_2$ — высота в треугольнике $ABC$. $AH_2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка $H_1$ (центр) делит высоту $AH_2$ в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, радиус описанной окружности $R$ (отрезок $AH_1$) равен:

$R = AH_1 = \frac{2}{3}AH_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH_1$. Гипотенуза $AD = a$, катет $AH_1 = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Второй катет $DH_1$ является высотой тетраэдра $H$. По теореме Пифагора:

$H^2 = AD^2 - AH_1^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.

Отсюда, $H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

4. Центр вписанного шара $Q$ (и описанного) в правильном тетраэдре лежит на его высоте и делит ее в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от центра $Q$ до любой грани. В частности, он равен длине отрезка $QH_1$.

Таким образом, $r = \frac{1}{4}H$.

Подставим значение высоты $H$:

$r = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

5. Теперь, зная, что $a = 1$ см, найдем радиус $r$:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{12}$ см.

6. Наконец, вычислим объем вписанного шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(\sqrt{6})^3}{12^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{6\sqrt{6}}{1728}$.

Упростим полученное выражение:

$V_{шара} = \frac{4 \cdot 6 \cdot \pi\sqrt{6}}{3 \cdot 1728} = \frac{24\pi\sqrt{6}}{5184}$.

Сократим дробь на 24 ($5184 \div 24 = 216$):

$V_{шара} = \frac{\pi\sqrt{6}}{216}$ см³.

Ответ: $V_{шара} = \frac{\pi\sqrt{6}}{216}$ см³.

28.18. Найдите объем шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром 1 см (рис. 28.11).

Рис. 28.11

Дано:

Правильный тетраэдр

Длина ребра $a = 1$ см.

Найти:

Объем описанного шара $V$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ - это радиус шара.

В правильном тетраэдре центр описанной сферы совпадает с центром тетраэдра, который является точкой пересечения его высот. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус описанной сферы $R$ равен большему из этих отрезков.

Пусть D-ABC - правильный тетраэдр с ребром $a=1$ см. Проведем высоту тетраэдра DH из вершины D на основание ABC. Точка H является центром равностороннего треугольника ABC.

1. Найдем расстояние от вершины основания до его центра. Пусть AM - медиана и высота в треугольнике ABC. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

При $a=1$ см, $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Центр H делит медиану AM в отношении 2:1, считая от вершины A. Расстояние от вершины A до центра H (проекции вершины D) равно: $AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Найдем высоту тетраэдра DH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH (угол AHD = 90°). Гипотенуза AD - это ребро тетраэдра, $AD=a=1$ см. Катет AH мы нашли. По теореме Пифагора:

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Высота тетраэдра: $H_{тет} = DH = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Найдем радиус R описанной сферы. Центр сферы O лежит на высоте DH и делит её в отношении 3:1, считая от вершины D. Радиус R равен длине отрезка OD.

$R = \frac{3}{4}DH = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ см.

4. Найдем объем шара.

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(\sqrt{6})^3}{4^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{6\sqrt{6}}{64}$

$V = \frac{24\sqrt{6}\pi}{192} = \frac{\sqrt{6}\pi}{8}$ см³.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{6}\pi}{8}$ см³.