Номер 28.14, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.14. Апельсин имеет форму шара. Толщина его кожуры составляет одну пятую часть радиуса (рис. 28.6). Какую часть объема апельсина составляет его кожура?

Рис. 28.6

Дано:

Форма апельсина – шар.

Пусть $R$ – радиус всего апельсина.

Толщина кожуры $t = \frac{1}{5}R$.

Найти:

Какую часть объема апельсина составляет его кожура, то есть найти отношение $\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}}$.

Решение:

1. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

2. Объем всего апельсина (вместе с кожурой) равен:

$V_{апельсина} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

3. Апельсин без кожуры (мякоть) также представляет собой шар. Найдем его радиус, $r_{мякоти}$. Он равен радиусу всего апельсина за вычетом толщины кожуры:

$r_{мякоти} = R - t = R - \frac{1}{5}R = \frac{4}{5}R$.

4. Теперь найдем объем мякоти апельсина:

$V_{мякоти} = \frac{4}{3}\pi (r_{мякоти})^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{4}{5}R\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{64}{125}R^3\right)$.

5. Объем кожуры равен разности объемов всего апельсина и его мякоти:

$V_{кожуры} = V_{апельсина} - V_{мякоти} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi \frac{64}{125}R^3$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$V_{кожуры} = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 - \frac{64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{125 - 64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{61}{125}\right)$.

6. Чтобы найти, какую часть объема апельсина составляет кожура, разделим объем кожуры на объем всего апельсина:

$\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{61}{125}\right)}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.

Сократив одинаковые множители $\frac{4}{3}\pi R^3$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}} = \frac{61}{125}$.

Ответ: Кожура составляет $\frac{61}{125}$ часть объема апельсина.