Номер 28.14, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 28. Объем шара и его частей. Глава V. Объемы тел - номер 28.14, страница 162.

Условие.

28.14. Апельсин имеет форму шара. Толщина его кожуры составляет одну пятую часть радиуса (рис. 28.6). Какую часть объема апельсина составляет его кожура?

Рис. 28.6

Решение 2 (rus).

Дано:

Форма апельсина – шар.

Пусть $R$ – радиус всего апельсина.

Толщина кожуры $t = \frac{1}{5}R$.

Найти:

Какую часть объема апельсина составляет его кожура, то есть найти отношение $\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}}$.

Решение:

1. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

2. Объем всего апельсина (вместе с кожурой) равен:

$V_{апельсина} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

3. Апельсин без кожуры (мякоть) также представляет собой шар. Найдем его радиус, $r_{мякоти}$. Он равен радиусу всего апельсина за вычетом толщины кожуры:

$r_{мякоти} = R - t = R - \frac{1}{5}R = \frac{4}{5}R$.

4. Теперь найдем объем мякоти апельсина:

$V_{мякоти} = \frac{4}{3}\pi (r_{мякоти})^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{4}{5}R\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{64}{125}R^3\right)$.

5. Объем кожуры равен разности объемов всего апельсина и его мякоти:

$V_{кожуры} = V_{апельсина} - V_{мякоти} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi \frac{64}{125}R^3$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$V_{кожуры} = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 - \frac{64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{125 - 64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{61}{125}\right)$.

6. Чтобы найти, какую часть объема апельсина составляет кожура, разделим объем кожуры на объем всего апельсина:

$\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{61}{125}\right)}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.

Сократив одинаковые множители $\frac{4}{3}\pi R^3$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{V_{кожуры}}{V_{апельсина}} = \frac{61}{125}$.

Ответ: Кожура составляет $\frac{61}{125}$ часть объема апельсина.