Номер 28.16, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.16. Найдите объем шара, описанного около правильной треугольной призмы, ребра которой равны 1 см (рис. 28.9).

Рис. 28.9

Дано:

Правильная треугольная призма, все ребра которой равны $1 \text{ см}$.
Сторона основания $a = 1 \text{ см}$.
Высота призмы (боковое ребро) $h = 1 \text{ см}$.

В системе СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем шара, описанного около призмы, $V_{шара}$.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. Для нахождения объема необходимо определить радиус $R$ описанного шара.

Так как шар описан около правильной треугольной призмы, все ее вершины лежат на поверхности шара. Центр описанного шара $O$ равноудален от всех вершин призмы. В силу симметрии правильной призмы, ее центр $O$ лежит на середине отрезка $O_1O_2$, соединяющего центры оснований. Основания призмы — это равносторонние треугольники.

Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставим значение стороны основания $a = 1 \text{ см}$: $r = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ см}$.

Радиус шара $R$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Этот треугольник образуют:

• один катет — расстояние от центра шара $O$ до центра основания $O_1$, которое равно половине высоты призмы: $\frac{h}{2}$;
• второй катет — радиус $r$ окружности, описанной около основания;
• гипотенуза — радиус шара $R$, соединяющий центр шара $O$ с одной из вершин основания.

Подставим известные значения $r = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ см}$ и $h = 1 \text{ см}$: $R^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $R^2 = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \text{ см}^2$.

Теперь, зная квадрат радиуса, можем вычислить объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (R^2 \cdot R) = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{7}{12} \cdot \sqrt{\frac{7}{12}}$.

Упростим выражение: $V_{шара} = \frac{28\pi}{36} \sqrt{\frac{7}{12}} = \frac{7\pi}{9} \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{12}} = \frac{7\pi\sqrt{7}}{9 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{7\pi\sqrt{7}}{18\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $V_{шара} = \frac{7\pi\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7\pi\sqrt{21}}{18 \cdot 3} = \frac{7\pi\sqrt{21}}{54}$.

Ответ: $V_{шара} = \frac{7\pi\sqrt{21}}{54} \text{ см}^3$.