Номер 28.21, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.21. Найдите объем шара, описанного около октаэдра с ребром 1 см (рис. 28.14).

Рис. 28.14

Дано:

Ребро октаэдра $a = 1 \text{ см}$

Перевод в СИ: $a = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем шара $V$

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, составленный из двух правильных четырехугольных пирамид, соединенных своими основаниями. Все 12 ребер октаэдра равны.Шар называется описанным около октаэдра, если все вершины октаэдра лежат на поверхности шара. Центр описанного шара совпадает с центром симметрии октаэдра.

Радиус $R$ описанного шара равен расстоянию от центра октаэдра до любой его вершины. Рассмотрим сечение октаэдра, проходящее через четыре его вершины и центр. Это сечение представляет собой квадрат, стороны которого являются диагоналями граней октаэдра, а диагонали этого квадрата являются осями, соединяющими противоположные вершины октаэдра. Длина такой диагонали равна диаметру описанного шара ($2R$).

Более простой способ найти радиус — рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали основания ($d/2$), высотой пирамиды (равной радиусу $R$) и боковым ребром (равным $a$). В правильном октаэдре основание пирамид — квадрат со стороной $a$. Диагональ этого квадрата $d = a\sqrt{2}$. Половина диагонали равна $d/2 = a\sqrt{2}/2$. Высота пирамиды также равна $a\sqrt{2}/2$.

Однако самый наглядный способ — разместить октаэдр в системе координат. Пусть центр октаэдра находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Тогда его шесть вершин будут иметь координаты:$A(R, 0, 0)$, $B(-R, 0, 0)$, $C(0, R, 0)$, $D(0, -R, 0)$, $E(0, 0, R)$, $F(0, 0, -R)$, где $R$ — это и есть радиус описанной сферы.

Ребро октаэдра $a$ — это расстояние между любыми двумя соседними вершинами, например, между $A$ и $C$. Найдем это расстояние по формуле:$a = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}$$a = \sqrt{(0 - R)^2 + (R - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-R)^2 + R^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Мы получили соотношение между ребром октаэдра $a$ и радиусом описанной сферы $R$:$a = R\sqrt{2}$.Отсюда выразим радиус $R$:$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

По условию задачи $a = 1 \text{ см}$. Подставим это значение:$R = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.

Теперь найдем объем шара по формуле:$V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим найденное значение радиуса $R$:$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(\sqrt{2})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{4}{3}\pi \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Сократив 4, получим:$V = \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: Объем шара равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{3} \text{ см}^3$.