Номер 28.26, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.26. Дан единичный куб. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этого куба (рис. 28.17). Найдите объем общей части куба и шара.

Рис. 28.17

Дано:

Куб - единичный, сторона $a = 1$ условная единица.

Шар с центром в вершине куба, радиус $R = 1$ см.

Примем, что сторона куба также равна 1 см, т.е. $a = 1$ см.

$a = 1$ см
$R = 1$ см

Найти:

Объем общей части куба и шара - $V_{общ}$.

Решение:

Для решения задачи разместим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина куба, которая является центром шара, находится в начале координат - в точке $O(0; 0; 0)$. Направим рёбра куба, выходящие из этой вершины, вдоль положительных направлений осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

Так как куб единичный, его сторона $a=1$. Тогда куб занимает область пространства, определяемую неравенствами: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$. Эта область полностью находится в первом октанте координатной системы.

Шар имеет центр в начале координат $O(0; 0; 0)$ и радиус $R=1$ см. Область, занимаемая шаром, описывается неравенством $x^2 + y^2 + z^2 \le R^2$, то есть $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$.

Нам нужно найти объём пересечения этих двух тел. Это объём той части шара, которая находится внутри куба.

Рассмотрим любую точку $(x, y, z)$, принадлежащую шару и находящуюся в первом октанте ($x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$). Для такой точки выполняется неравенство $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$.

Поскольку $y^2 \ge 0$ и $z^2 \ge 0$, то $x^2 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Отсюда следует, что $x^2 \le 1$. Так как мы рассматриваем первый октант, где $x \ge 0$, получаем $0 \le x \le 1$.

Аналогично, $y^2 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \implies 0 \le y \le 1$.

И $z^2 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \implies 0 \le z \le 1$.

Таким образом, любая точка шара, находящаяся в первом октанте, удовлетворяет условиям $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$. Это означает, что вся часть шара, расположенная в первом октанте, полностью содержится внутри куба.

Координатные плоскости делят шар на 8 равных частей (октантов). Объем общей части куба и шара равен объёму одной такой части, то есть $1/8$ от общего объёма шара.

Объём шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим значение радиуса $R = 1$ см:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ см$^3$.

Тогда объём общей части равен:

$V_{общ} = \frac{1}{8} V_{шара} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$ см$^3$.

Ответ: объём общей части куба и шара равен $\frac{\pi}{6}$ см$^3$.