Номер 5, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите объем шестиугольной призмы, основанием которой является правильный шестиугольник со сторонами равными 2 см, а боковые ребра равны 3 см и образуют угол $60^\circ$ с плоскостью основания этой призмы:

A) $6\sqrt{3}$ cm$^3$;

B) 9 cm$^3$;

C) 27 cm$^3$;

D) $9\sqrt{3}$ cm$^3$.

Дано:

Основание призмы – правильный шестиугольник.
Сторона основания, $a = 2$ см.
Длина бокового ребра, $l = 3$ см.
Угол наклона бокового ребра к плоскости основания, $\alpha = 60^{\circ}$.

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$l = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем призмы, $V$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot H$,где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота призмы.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$). Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$.
Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Следовательно, площадь всего шестиугольного основания:$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Подставим в формулу значение стороны $a = 2$ см:$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту призмы ($H$). Так как боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $\alpha = 60^{\circ}$, то призма является наклонной. Высота призмы $H$, боковое ребро $l$ и его проекция на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $H$ – катетом, противолежащим углу $\alpha$.
Высоту можно найти через синус угла $\alpha$:$H = l \cdot \sin(\alpha)$.
Подставим известные значения $l = 3$ см и $\alpha = 60^{\circ}$:$H = 3 \cdot \sin(60^{\circ}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

3. Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем призмы:$V = S_{осн} \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$V = \frac{6 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{18 \cdot 3}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}^3$.

Ответ: $27 \text{ см}^3$.