Номер 8, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Развертка боковой поверхности цилиндра — квадрат со стороной равной 2 см. Найдите объем цилиндра:

А) $\frac{2}{\pi}$ см³;

В) $\frac{4}{\pi}$ см³;

С) $2\pi$ см³;

D) $4\pi$ см³.

Дано:

Развертка боковой поверхности цилиндра — квадрат.

Сторона квадрата $a = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение:

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра $h$, а другая — длине окружности его основания $C$.

По условию задачи, эта развертка является квадратом со стороной $a = 2 \text{ см}$. Следовательно, высота цилиндра и длина окружности его основания равны стороне этого квадрата:

$h = a = 2 \text{ см}$

$C = a = 2 \text{ см}$

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ – это радиус основания цилиндра. Используя значение $C$, мы можем найти радиус:

$2\pi r = 2$

$r = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \text{ см}$

Объем цилиндра находится по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ – это площадь основания.

Основание цилиндра – это круг, его площадь вычисляется по формуле $S_{\text{осн}} = \pi r^2$. Подставим найденное значение радиуса $r$:

$S_{\text{осн}} = \pi \cdot \left(\frac{1}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{1}{\pi^2} = \frac{1}{\pi} \text{ см}^2$

Теперь мы можем рассчитать объем цилиндра, зная площадь основания и высоту:

$V = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{\pi} \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см} = \frac{2}{\pi} \text{ см}^3$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: $\frac{2}{\pi} \text{ см}^3$.