Номер 15, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Разверткой боковой поверхности конуса служит круговой сектор радиусом 3 см и центральным углом 120°. Найдите объем конуса:

A) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³;

B) $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$ см³;

C) $\frac{2\pi}{3}$ см³;

D) $\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

Дано:

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Радиус кругового сектора (является образующей конуса $L$) = $3$ см.

Центральный угол сектора $\alpha = 120^\circ$.

Найти:

Объем конуса $V$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

1. Найдем радиус основания конуса $r$. Длина дуги сектора, который является разверткой боковой поверхности конуса, равна длине окружности основания конуса.

Длина дуги сектора вычисляется по формуле: $C_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi L$.

Подставим известные значения:

$C_{дуги} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 6\pi = 2\pi$ см.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле: $C_{основания} = 2\pi r$.

Так как $C_{дуги} = C_{основания}$, получаем:

$2\pi r = 2\pi$

$r = 1$ см.

2. Найдем высоту конуса $h$. Образующая конуса $L$, его высота $h$ и радиус основания $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = r^2 + h^2$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \sqrt{L^2 - r^2}$

Подставим известные значения $L=3$ см и $r=1$ см:

$h = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Теперь можем вычислить объем конуса $V$:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (1)^2 \cdot (2\sqrt{2}) = \frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту D).

Ответ: $ \frac{2\pi\sqrt{2}}{3} $ см³.