Номер 17, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите объем усеченного конуса, осевым сечением которого является равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см и 2 см, а боковые стороны равны 2 см:

A) $\frac{4\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^3$;

B) $\frac{5\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^3$;

C) $\frac{7\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^3$;

D) $\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^3$.

Дано:

Осевое сечение усеченного конуса - равнобедренная трапеция.

Большее основание трапеции (диаметр большего основания конуса) $D = 4 \text{ см}$

Меньшее основание трапеции (диаметр меньшего основания конуса) $d = 2 \text{ см}$

Боковая сторона трапеции (образующая конуса) $l = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$D = 0.04 \text{ м}$

$d = 0.02 \text{ м}$

$l = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем усеченного конуса $V$.

Решение:

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$,

где $h$ – высота конуса, $R$ и $r$ – радиусы его большего и меньшего оснований соответственно.

Радиусы оснований конуса равны половине диаметров:

Радиус большего основания: $R = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$.

Высоту конуса $h$ найдем из осевого сечения, которым является равнобедренная трапеция. Проведем в трапеции высоты из вершин меньшего основания к большему. Они отсекут от трапеции прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, равен полуразности оснований трапеции:

$k = \frac{D - d}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \text{ см}$.

Другой катет этого треугольника является высотой трапеции (и конуса) $h$, а гипотенуза - боковой стороной трапеции (и образующей конуса) $l$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + k^2$

$h^2 = l^2 - k^2$

$h = \sqrt{l^2 - k^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь подставим все найденные значения в формулу объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \sqrt{3}(2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{3}\pi \sqrt{3}(4 + 2 + 1) = \frac{1}{3}\pi \sqrt{3} \cdot 7 = \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi \text{ см}^3$.

Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: $V = \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi \text{ см}^3$.