Номер 3, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC$ и $BC_1$.

4. В правильной треугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $BC_1$.

Решение:

Прямые $AC$ и $BC_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Для нахождения угла между $AC$ и $BC_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. Выполним параллельный перенос прямой $AC$ так, чтобы она пересекла прямую $BC_1$. Прямая $A_1C_1$ в верхней грани куба параллельна прямой $AC$ в нижней грани ($AC \parallel A_1C_1$).

Таким образом, искомый угол между прямыми $AC$ и $BC_1$ равен углу между прямыми $A_1C_1$ и $BC_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $C_1$, образуя угол $\angle A_1C_1B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1BC_1$, сторонами которого являются отрезки $A_1B$, $BC_1$ и $A_1C_1$.

Пусть ребро куба имеет длину $a$. Найдем длины сторон этого треугольника:

Сторона $A_1C_1$ является диагональю квадрата $A_1B_1C_1D_1$. По теореме Пифагора, ее длина равна $A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Сторона $BC_1$ является диагональю квадрата $BCC_1B_1$. Ее длина также равна $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Сторона $A_1B$ является диагональю квадрата $ABB_1A_1$. Ее длина также равна $A_1B = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle A_1BC_1$ равны ($A_1B = BC_1 = A_1C_1 = a\sqrt{2}$), он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle A_1C_1B = 60^\circ$.

Это означает, что угол между прямыми $AC$ и $BC_1$ составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.