Номер 7, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер равна 1 см.

Перевод в систему СИ не требуется, так как ищется угол, который является безразмерной величиной.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Решение:

Прямые $AB$ и $C_1D_1$ являются скрещивающимися, так как они лежат в параллельных плоскостях оснований призмы ($ABC$) и ($A_1B_1C_1$) и не параллельны друг другу.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания — правильные шестиугольники, а боковые грани — прямоугольники. Плоскости оснований $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны.

Прямая $CD$ лежит в плоскости нижнего основания и параллельна прямой $C_1D_1$, лежащей в плоскости верхнего основания, так как $CDD_1C_1$ — прямоугольник (боковая грань).

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $C_1D_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $CD$, которые лежат в одной плоскости — плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Нам нужно найти угол между прямыми, содержащими стороны $AB$ и $CD$.

В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Таким образом, сторона $CD$ параллельна стороне $AF$.

Значит, искомый угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен углу между прямыми $AB$ и $AF$.

Прямые $AB$ и $AF$ пересекаются в точке $A$, и угол между ними — это внутренний угол правильного шестиугольника $\angle FAB$.

Величину внутреннего угла правильного $n$-угольника можно найти по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Для шестиугольника $n=6$, поэтому:

$\angle FAB = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

По определению, угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. При пересечении прямых $AB$ и $AF$ образуются два смежных угла: $120^\circ$ и $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Наименьший из этих углов равен $60^\circ$.

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $C_1D_1$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.