Номер 10, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $CD$. Найдите косинус угла между прямыми $BC$ и $AE$.

Дано:

ABCD - правильный тетраэдр.

E - середина ребра CD.

Найти:

Косинус угла $\alpha$ между прямыми BC и AE.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a$.

Выберем в качестве базисных векторов векторы, выходящие из вершины A: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Поскольку тетраэдр правильный, его грани являются равносторонними треугольниками. Следовательно, длины базисных векторов равны $a$, а углы между ними равны $60^\circ$.

$|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = a$.

Скалярные произведения базисных векторов равны:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AD} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Угол между прямыми BC и AE найдем как угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AE}$. Выразим эти векторы через базисные:

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Точка E — середина ребра CD, поэтому вектор $\vec{AE}$ можно выразить как полусумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD})$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AE}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{BC} \cdot \vec{AE}|}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{AE}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AE}$:

$\vec{BC} \cdot \vec{AE} = (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{AC} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AD})$

$\vec{BC} \cdot \vec{AE} = \frac{1}{2}(|\vec{AC}|^2 + \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(a^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Теперь найдем длины векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AE}$.

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине ребра тетраэдра:

$|\vec{BC}| = a$.

Длину вектора $\vec{AE}$ найдем через скалярный квадрат. Заметим, что AE является медианой и, следовательно, высотой в равностороннем треугольнике ACD.

$|\vec{AE}|^2 = \vec{AE} \cdot \vec{AE} = \frac{1}{4}(\vec{AC} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{4}(|\vec{AC}|^2 + 2\vec{AC}\cdot\vec{AD} + |\vec{AD}|^2)$

$|\vec{AE}|^2 = \frac{1}{4}(a^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{2} + a^2) = \frac{1}{4}(a^2 + a^2 + a^2) = \frac{3a^2}{4}$.

Отсюда, $|\vec{AE}| = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{a^2/4}{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a^2/4}{a^2\sqrt{3}/2} = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{2}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Поскольку полученное значение положительно, оно является косинусом острого угла между прямыми.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$.