Номер 15, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите косинус угла между прямыми $SB$ и $AE$.

Дано:

SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида
Стороны основания $a = 1$ см
Боковые ребра $l = 2$ см

Поскольку в ответе требуется найти безразмерную величину (косинус угла), а все данные приведены в одинаковых единицах измерения, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла между прямыми SB и AE.

Решение:

Прямые SB и AE являются скрещивающимися, так как лежат в разных плоскостях и не пересекаются. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным.

Рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник ABCDEF. В правильном шестиугольнике диагональ AE параллельна диагонали BD. Следовательно, угол между прямыми SB и AE равен углу между прямыми SB и BD. Эти прямые пересекаются в точке B, поэтому искомый угол равен углу $\angle SBD$.

Для нахождения косинуса угла $\angle SBD$ рассмотрим треугольник $\triangle SBD$ и найдем длины его сторон.

1. Стороны SB и SD являются боковыми ребрами пирамиды. По условию задачи, их длины равны 2 см.
$SB = 2$ см, $SD = 2$ см.

2. Сторона BD является малой диагональю правильного шестиугольника в основании. Найдем ее длину из треугольника $\triangle BCD$.
В правильном шестиугольнике все стороны равны 1 см, а все внутренние углы равны $120^\circ$.
В треугольнике $\triangle BCD$ имеем: $BC = CD = 1$ см, а угол между ними $\angle BCD = 120^\circ$.
Применим теорему косинусов:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = -0.5$, получаем:
$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
$BD = \sqrt{3}$ см.

3. Теперь мы знаем все стороны треугольника $\triangle SBD$: $SB = 2$ см, $SD = 2$ см, $BD = \sqrt{3}$ см. Этот треугольник является равнобедренным.
Чтобы найти косинус угла $\angle SBD$, снова применим теорему косинусов, но уже для $\triangle SBD$:
$SD^2 = SB^2 + BD^2 - 2 \cdot SB \cdot BD \cdot \cos(\angle SBD)$
Подставим известные значения:
$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$
$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$
$4 = 7 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$
Перенесем слагаемые, чтобы выразить косинус:
$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD) = 7 - 4$
$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD) = 3$
$\cos(\angle SBD) = \frac{3}{4\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$\cos(\angle SBD) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Косинус угла между прямыми является неотрицательной величиной, так как угол по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Полученное значение $\frac{\sqrt{3}}{4} > 0$, что является корректным.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.