Номер 2, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCD_1$.

3. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, найдите угол между прямой $CA_1$ и плоскостью

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Решение:

Для решения задачи можно использовать два способа: координатный и геометрический.

Способ 1: Координатный метод

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $B$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $BA$, ось $Oy$ вдоль ребра $BC$, и ось $Oz$ вдоль ребра $BB_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$B(0, 0, 0)$

$A(a, 0, 0)$

$C(0, a, 0)$

$B_1(0, 0, a)$

$D(a, a, 0)$, следовательно, $D_1(a, a, a)$.

Направляющий вектор $\vec{s}$ для прямой $AB_1$ находится как разность координат ее точек:

$\vec{s} = \vec{AB_1} = \{0-a; 0-0; a-0\} = \{-a; 0; a\}$.

Плоскость $BCD_1$ проходит через точки $B(0, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$ и $D_1(a, a, a)$. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к этой плоскости. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$:

$\vec{BC} = \{0-0; a-0; 0-0\} = \{0; a; 0\}$

$\vec{BD_1} = \{a-0; a-0; a-0\} = \{a; a; a\}$

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен этим векторам, и его можно найти через их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot a) = \{a^2; 0; -a^2\}$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на $a^2$: $\vec{n'} = \{1; 0; -1\}$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью определяется формулой:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n'}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n'}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n'} = (-a) \cdot 1 + 0 \cdot 0 + a \cdot (-1) = -a - a = -2a$.

Вычислим модули векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$|\vec{n'}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$\sin(\alpha) = \frac{|-2a|}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2a}{a \cdot 2} = 1$.

Так как $\sin(\alpha) = 1$, то искомый угол $\alpha = 90^\circ$.

Способ 2: Геометрический метод

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Докажем, что прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $BCD_1$, например, $BC$ и $CD_1$.

1. Докажем, что $AB_1 \perp BC$.

Ребро $BC$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$, так как $BC \perp AB$ (как стороны квадрата) и $BC \perp BB_1$ (как ребра куба). Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$. Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AB_1$. Таким образом, $AB_1 \perp BC$.

2. Докажем, что $AB_1 \perp CD_1$.

Рассмотрим четырехугольник $A_1BCD_1$. Вектор $\vec{BC} = \{0, a, 0\}$. Вектор $\vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = \{a,a,a\} - \{a,0,a\} = \{0,a,0\}$. Так как $\vec{BC} = \vec{A_1D_1}$, то $A_1BCD_1$ — параллелограмм. Прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$.Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $AB_1 \perp BA_1$.

Поскольку $CD_1 \parallel BA_1$ и $AB_1 \perp BA_1$, то $AB_1 \perp CD_1$.

Так как прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CD_1$) в плоскости $BCD_1$, она перпендикулярна и самой плоскости. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3. Вопрос в задаче 3 сформулирован не полностью. В условии "В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $CA_1$ и плоскостью" отсутствует определение плоскости, угол с которой необходимо найти. В связи с этим, решить задачу невозможно.