Номер 3, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $CA_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

4. В правильной треугольной пирамиде $ABCA_1B_1C_1$ ребра которой

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.

Прямая: $CA_1$.

Плоскость: $AB_1D_1$.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой $CA_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $AB$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Примем длину ребра куба равной $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$C(a, a, 0)$

$A_1(0, 0, a)$

$B_1(0, a, a)$

$D_1(a, 0, a)$

1. Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ прямой $CA_1$.

Направляющий вектор прямой, проходящей через две точки, находится как разность координат этих точек.

$\vec{s} = \vec{CA_1} = \{x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C\} = \{0-a; 0-a; a-0\} = \{-a; -a; a\}$.

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$.

Плоскость $AB_1D_1$ проходит через три точки $A(0, 0, 0)$, $B_1(0, a, a)$ и $D_1(a, 0, a)$. Вектор нормали к плоскости можно найти как векторное произведение двух неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости, например, векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.

$\vec{AB_1} = \{0-0; a-0; a-0\} = \{0; a; a\}$

$\vec{AD_1} = \{a-0; 0-0; a-0\} = \{a; 0; a\}$

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & a \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - a \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - a \cdot a) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - a \cdot a) = \{a^2; a^2; -a^2\}$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на $a^2$: $\vec{n'} = \{1; 1; -1\}$.

3. Найдем угол $\phi$ между прямой и плоскостью.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью определяется через синус угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости по формуле:

$\sin\phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n'}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n'}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n'} = (-a) \cdot 1 + (-a) \cdot 1 + a \cdot (-1) = -a - a - a = -3a$.

Вычислим модули векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

$|\vec{n'}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для синуса угла:

$\sin\phi = \frac{|-3a|}{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3a}{3a} = 1$.

Если $\sin\phi = 1$, то угол $\phi$ равен $90^\circ$.

Это означает, что прямая $CA_1$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$.

Ответ: 90°.