Номер 9, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите тангенс угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BDD_1$.

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ - куб.

Найти:

Тангенс угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение:

Пусть ребро куба равно $a$.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
Найдём проекцию прямой $AC_1$ на плоскость $BDD_1$. Для этого найдём проекции точек $A$ и $C_1$ на эту плоскость.
Пусть $O$ — центр основания $ABCD$ (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$), а $O_1$ — центр верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ (точка пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$).

1. Рассмотрим проекцию точки $A$ на плоскость $BDD_1$.
В основании куба лежит квадрат $ABCD$, его диагонали перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$. Отсюда, отрезок $AO \perp BD$.
Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $AO$.
Таким образом, прямая $AO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) в плоскости $BDD_1$. Следовательно, $AO$ является перпендикуляром к плоскости $BDD_1$.
Значит, точка $O$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BDD_1$.

2. Рассмотрим проекцию точки $C_1$ на плоскость $BDD_1$.
Аналогично, в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1$ диагонали перпендикулярны, поэтому $C_1O_1 \perp B_1D_1$.
Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1D_1$ и, следовательно, прямой $C_1O_1$.
Прямые $B_1D_1$ и $DD_1$ лежат в плоскости $BDD_1$ и пересекаются. Значит, прямая $C_1O_1$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.
Следовательно, точка $O_1$ является проекцией точки $C_1$ на плоскость $BDD_1$.

3. Проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $BDD_1$ является прямая $OO_1$.
Искомый угол $\alpha$ — это угол между прямыми $AC_1$ и $OO_1$.
Пусть $M$ — центр куба. $M$ является серединой пространственной диагонали $AC_1$, а также серединой отрезка $OO_1$, соединяющего центры оснований. Таким образом, прямые $AC_1$ и $OO_1$ пересекаются в точке $M$.
Рассмотрим треугольник $C_1MO_1$. Он является прямоугольным, так как $C_1O_1$ — перпендикуляр к плоскости $BDD_1$, а прямая $MO_1$ лежит в этой плоскости, следовательно, $\angle MO_1C_1 = 90^\circ$.
Искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle C_1MO_1$.

4. Найдем длины катетов треугольника $C_1MO_1$:
$C_1O_1$ — это половина диагонали $A_1C_1$ квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.
$C_1O_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
$MO_1$ — это половина высоты куба (половина длины отрезка $OO_1$).
$MO_1 = \frac{1}{2} OO_1 = \frac{a}{2}$.

5. Найдём тангенс угла $\alpha = \angle C_1MO_1$ из прямоугольного треугольника $C_1MO_1$:
$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{C_1O_1}{MO_1} = \frac{a\sqrt{2}/2}{a/2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.