Номер 8, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $CDD_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.
Длина всех ребер $a = 1$ см.

$a = 0.01$ м.

Найти:

Угол $\alpha$ между прямой $AC$ и плоскостью $CDD_1$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Мы докажем, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $CDD_1$, а значит, искомый угол равен $90^\circ$.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых в плоскости $CDD_1$ выберем прямые $CD$ и $DD_1$.

1. Докажем, что $AC \perp DD_1$.

Так как призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, она является прямой призмой. Это означает, что её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна прямой $DD_1$.

2. Докажем, что $AC \perp CD$.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равнобедренный, так как $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов найдем длину стороны $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Теперь рассмотрим диагональ $AD$ шестиугольника. В правильном шестиугольнике большая диагональ в два раза длиннее стороны, поэтому $AD = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем длины всех его сторон: $AC = \sqrt{3}$, $CD = 1$ (так как это сторона шестиугольника), $AD = 2$.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:

$AC^2 + CD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AD^2 = 2^2 = 4$

Поскольку $AC^2 + CD^2 = AD^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ACD$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, $AC \perp CD$.

3. Вывод.

Мы установили, что:

1) $AC \perp DD_1$

2) $AC \perp CD$

Прямые $CD$ и $DD_1$ пересекаются в точке $D$ и обе лежат в плоскости $CDD_1$. Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $CDD_1$, она перпендикулярна и самой плоскости.

Угол между прямой и плоскостью, которой она перпендикулярна, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.