Номер 1, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью...

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.

Найти:

Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость.

1. Построим проекцию прямой $AB_1$ на плоскость $BCC_1$. Плоскость $BCC_1$ — это плоскость боковой грани $BCC_1B_1$.

2. Проекция точки $B_1$ на плоскость $BCC_1$ есть сама точка $B_1$, так как точка $B_1$ принадлежит этой плоскости.

3. Для нахождения проекции точки $A$ на плоскость $BCC_1$ опустим перпендикуляр из точки $A$ на эту плоскость. В кубе ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$. Это следует из того, что ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$ (так как $ABCD$ — квадрат) и ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BB_1$ (так как $ABB_1A_1$ — квадрат). Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$), лежащим в плоскости $BCC_1$, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, точка $B$ является ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$.

4. Таким образом, прямая $BB_1$ является проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $BCC_1$.

5. Искомый угол (обозначим его $\alpha$) — это угол между наклонной $AB_1$ и её проекцией $BB_1$. То есть, $\alpha = \angle AB_1B$.

6. Рассмотрим треугольник $\triangle ABB_1$. Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BB_1$ (угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$).

7. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда катеты в треугольнике $\triangle ABB_1$ равны: $AB = a$ и $BB_1 = a$. Следовательно, $\triangle ABB_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.

8. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны друг другу и их сумма равна $90^\circ$, поэтому каждый из них равен $45^\circ$. Значит, искомый угол $\angle AB_1B = 45^\circ$.

Этот же результат можно получить с помощью тригонометрических функций. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABB_1$:

$\tan(\angle AB_1B) = \frac{AB}{BB_1} = \frac{a}{a} = 1$

Отсюда $\angle AB_1B = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.