Номер 13, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $FE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $FE_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $FE_1$ воспользуемся методом координат. Пусть ребро призмы равно $a=1$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ основания. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ - вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Oy$ будет лежать в плоскости основания $ABC$ перпендикулярно оси $Ox$.

Найдем координаты необходимых точек.Точка $A$ - начало координат, поэтому ее координаты $A(0, 0, 0)$.Точка $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от $A$, поэтому ее координаты $B(1, 0, 0)$.Точка $F$ лежит в плоскости $xy$. Угол в правильном шестиугольнике $\angle FAB = 120^\circ$. Координаты $F$ равны $(a \cdot \cos(120^\circ), a \cdot \sin(120^\circ), 0)$, что при $a=1$ дает $F(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.Найдем координаты точки $E$. В правильном шестиугольнике вектор $\vec{FE}$ параллелен вектору $\vec{BC}$. Вектор $\vec{BC}$ образует угол $60^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$, так как внутренний угол шестиугольника $\angle ABC=120^\circ$. Длина $|\vec{FE}|=1$. Следовательно, вектор $\vec{FE}$ имеет координаты $(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.Координаты точки $E$ найдем как сумму координат точки $F$ и вектора $\vec{FE}$:$E = F + \vec{FE} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) + (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.Точка $E_1$ получается из точки $E$ сдвигом вдоль оси $Oz$ на высоту призмы, равную 1. Таким образом, $E_1(0, \sqrt{3}, 1)$.

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $AB$ и $FE_1$.Направляющий вектор для прямой $AB$ это $\vec{AB} = B - A = (1, 0, 0)$.Направляющий вектор для прямой $FE_1$ это $\vec{FE_1} = E_1 - F = (0 - (-\frac{1}{2}), \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми (векторами) вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{FE_1}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{FE_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{FE_1} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{FE_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos \alpha = \frac{|\frac{1}{2}|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.