Номер 6, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите угол между прямыми $SB$ и $CD$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF

Сторона основания $a = 1$ см

Боковое ребро $l = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м

$l = 0.02$ м

Найти:

Угол $\alpha$ между прямыми SB и CD.

Решение:

Прямые SB и CD являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Для нахождения искомого угла выполним параллельный перенос одной из прямых. Рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть O — его центр. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине его стороны. Таким образом, $OB = OC = OD = 1$ см. По условию, стороны основания также равны 1 см, то есть $BC = 1$ см и $CD = 1$ см.

Рассмотрим четырехугольник BCDO. Все его стороны равны 1 см ($BC = CD = DO = OB = 1$ см). Следовательно, четырехугольник BCDO является ромбом. По свойству ромба, его противоположные стороны параллельны. Значит, прямая CD параллельна прямой BO ($CD \parallel BO$).

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми SB и CD равен углу между пересекающимися прямыми SB и BO. Эти прямые пересекаются в точке B, следовательно, искомый угол равен величине угла $\angle SBO$.

Найдем этот угол из треугольника $\triangle SBO$.

Поскольку пирамида SABCDEF является правильной, её вершина S проецируется в центр основания O. Это означает, что высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, SO перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку O, в том числе и прямой BO. Таким образом, $SO \perp BO$.

Это значит, что треугольник $\triangle SBO$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине O ($\angle SOB = 90^\circ$).

В этом прямоугольном треугольнике:

- гипотенуза SB является боковым ребром пирамиды, и её длина по условию $SB = l = 2$ см;

- катет BO равен расстоянию от центра основания до вершины, которое в правильном шестиугольнике равно длине стороны, то есть $BO = a = 1$ см.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, находим:

$\cos(\angle SBO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BO}{SB}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle SBO) = \frac{1}{2}$

Отсюда находим сам угол:

$\angle SBO = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Следовательно, угол между прямыми SB и CD равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.