Номер 9, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат интересующие нас вершины будут иметь следующие координаты: $A(a, 0, 0)$, $B(a, a, 0)$, $C(0, a, 0)$, $A_1(a, 0, a)$.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB$ и $CA_1$.

Для прямой $AB$ направляющим вектором является вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{a - a; a - 0; 0 - 0\} = \{0; a; 0\}$.

Для прямой $CA_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{CA_1}$:

$\vec{CA_1} = \{x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C\} = \{a - 0; 0 - a; a - 0\} = \{a; -a; a\}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}=\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{v}=\{x_2, y_2, z_2\}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA_1}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CA_1} = 0 \cdot a + a \cdot (-a) + 0 \cdot a = -a^2$.

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a$.

$|\vec{CA_1}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{-a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{-a^2}{a^2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол между прямыми по определению является острым (или прямым), его величина принадлежит промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$, поэтому его косинус не может быть отрицательным. Если косинус угла между направляющими векторами отрицателен, то это означает, что угол между векторами тупой. Угол между прямыми в этом случае будет смежным с углом между векторами, и его косинус будет равен модулю косинуса угла между векторами.

Следовательно, косинус искомого угла $\phi$ между прямыми $AB$ и $CA_1$ равен:

$\cos(\phi) = |\cos(\theta)| = |-\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.