Номер 11, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильная треугольная.

Длина каждого ребра $a = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

$\cos(\alpha)$ – косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CA_1$ воспользуемся методом координат. Поскольку искомая величина (косинус угла) является безразмерной, для удобства расчетов примем длину ребра равной 1, без указания единиц измерения.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$.

1. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$.

2. Ось $Oz$ направим вдоль ребра $AA_1$.

3. Ось $Oy$ направим так, чтобы основание $ABC$ лежало в плоскости $Oxy$, а координата $y$ точки $C$ была положительной.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи.

Точка $A$ является началом координат, поэтому ее координаты $A(0; 0; 0)$.

Точка $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, следовательно, ее координаты $B(1; 0; 0)$.

Точка $A_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат, следовательно, ее координаты $A_1(0; 0; 1)$.

Основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 1. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, равна $h = a \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Основание высоты делит сторону $AB$ пополам. Следовательно, координаты точки $C$ равны $C(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.

Теперь определим координаты векторов, задающих направления прямых $AB$ и $CA_1$.

Направляющий вектор прямой $AB$ – это вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (1; 0; 0)$.

Направляющий вектор прямой $CA_1$ – это вектор $\vec{CA_1}$:

$\vec{CA_1} = (x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C) = (0 - \frac{1}{2}; 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 - 0) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами и вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CA_1}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CA_1}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{CA_1} = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot 1 = -\frac{1}{2}$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

$|\vec{CA_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|-\frac{1}{2}|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.