Номер 12, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, точка $E$ — середина ребра $SD$, найдите тангенс угла между прямыми $SB$ и $AE$.

Дано:

SABCD – правильная четырехугольная пирамида.
Длина всех ребер (основания и боковых) равна 1 см.
E – середина ребра SD.

Найти:

Тангенс угла между прямыми SB и AE.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми SB и AE воспользуемся векторным методом. Угол $\alpha$ между прямыми определяется через косинус угла между их направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по формуле:$ \cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} $

В качестве направляющих векторов выберем векторы $\vec{SB}$ и $\vec{AE}$. Поместим начало координат в вершину A. Тогда координаты основных точек и векторов можно определить через базисные векторы $\vec{AD}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AS}$.

По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что основание ABCD - квадрат со стороной 1, а боковые грани (например, $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$) - равносторонние треугольники со стороной 1.

Выразим векторы $\vec{SB}$ и $\vec{AE}$ через векторы, выходящие из вершины A:
1. Вектор $\vec{SB}$: по правилу треугольника, $\vec{AS} + \vec{SB} = \vec{AB}$, откуда $\vec{SB} = \vec{AB} - \vec{AS}$.
2. Вектор $\vec{AE}$: точка E - середина ребра SD. Для вектора медианы $\vec{AE}$ треугольника $\triangle ASD$ справедлива формула: $\vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AS} + \vec{AD})$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{SB}$ и $\vec{AE}$:
$\vec{SB} \cdot \vec{AE} = (\vec{AB} - \vec{AS}) \cdot \frac{1}{2}(\vec{AS} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} \cdot \vec{AS} + \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AS} \cdot \vec{AS} - \vec{AS} \cdot \vec{AD})$

Вычислим необходимые скалярные произведения:
• $|\vec{AB}| = 1$, $|\vec{AS}| = 1$, $|\vec{AD}| = 1$.
• $\vec{AB} \cdot \vec{AS} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AS}| \cdot \cos(\angle SAB)$. Так как $\triangle SAB$ равносторонний, $\angle SAB = 60^\circ$. Значит, $\vec{AB} \cdot \vec{AS} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
• $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB)$. Так как ABCD - квадрат, $\angle DAB = 90^\circ$. Значит, $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(90^\circ) = 0$.
• $\vec{AS} \cdot \vec{AS} = |\vec{AS}|^2 = 1^2 = 1$.
• $\vec{AS} \cdot \vec{AD} = |\vec{AS}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle SAD)$. Так как $\triangle SAD$ равносторонний, $\angle SAD = 60^\circ$. Значит, $\vec{AS} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для скалярного произведения:
$\vec{SB} \cdot \vec{AE} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + 0 - 1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем модули (длины) векторов $\vec{SB}$ и $\vec{AE}$:
• $|\vec{SB}|$ - это длина ребра SB, которая по условию равна 1.
• $|\vec{AE}|$ - это длина медианы в равностороннем треугольнике $\triangle SAD$ со стороной 1. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $|\vec{AE}| = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем косинус угла $\alpha$ между прямыми:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{SB} \cdot \vec{AE}|}{|\vec{SB}| \cdot |\vec{AE}|} = \frac{|-1/2|}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Нам нужно найти тангенс угла. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} - 1 = \frac{1}{1/3} - 1 = 3 - 1 = 2$.
Так как угол между прямыми острый, его тангенс положителен: $\tan \alpha = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.