Страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $AB$ и $CD_1$.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $CD_1$.

Решение:

Прямые $AB$ и $CD_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

В кубе грань $ABCD$ является квадратом, поэтому сторона $AB$ параллельна стороне $CD$. Запишем это как $AB \parallel CD$.

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD_1$ равен углу между пересекающимися в точке $C$ прямыми $CD$ и $CD_1$. Этот угол является углом $\angle D_1CD$ в треугольнике $\triangle D_1CD$.

Рассмотрим грань куба $CDD_1C_1$. Эта грань является квадратом.

В треугольнике $\triangle D_1CD$ угол $\angle CDD_1$ является углом квадрата $CDD_1C_1$, следовательно, он прямой: $\angle CDD_1 = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle D_1CD$ — прямоугольный.

Катеты этого треугольника $CD$ и $DD_1$ являются рёбрами куба, а значит, их длины равны. Пусть ребро куба равно $a$, тогда $CD = DD_1 = a$.

Поскольку у прямоугольного треугольника $\triangle D_1CD$ катеты равны, он также является равнобедренным.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны между собой и их сумма равна $90^\circ$. Следовательно, каждый острый угол равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Искомый угол $\angle D_1CD$ является одним из острых углов этого треугольника, поэтому $\angle D_1CD = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $DA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $BC_1$ и $DA_1$.

Решение:

Прямые $BC_1$ и $DA_1$ являются скрещивающимися, поскольку они лежат в параллельных плоскостях боковых граней куба $(BCC_1)$ и $(ADD_1)$ и не параллельны друг другу.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным скрещивающимся прямым.

Для нахождения угла выполним параллельный перенос одной из прямых. Перенесем прямую $DA_1$ на вектор $\vec{DC}$. При таком переносе точка $D$ перейдет в точку $C$, а точка $A_1$ перейдет в точку $B_1$, так как четырехугольник $DCB_1A_1$ является параллелограммом (и даже прямоугольником), поскольку ребра $DC$ и $A_1B_1$ равны и параллельны.

Следовательно, прямая $DA_1$ параллельна прямой $CB_1$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $BC_1$ и $DA_1$ равен углу между прямыми $BC_1$ и $CB_1$.

Прямые $BC_1$ и $CB_1$ являются диагоналями грани куба $BCC_1B_1$. Грань куба является квадратом. Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $BC_1$ и $CB_1$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC$ и $BC_1$.

4. В правильной треугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $BC_1$.

Решение:

Прямые $AC$ и $BC_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Для нахождения угла между $AC$ и $BC_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. Выполним параллельный перенос прямой $AC$ так, чтобы она пересекла прямую $BC_1$. Прямая $A_1C_1$ в верхней грани куба параллельна прямой $AC$ в нижней грани ($AC \parallel A_1C_1$).

Таким образом, искомый угол между прямыми $AC$ и $BC_1$ равен углу между прямыми $A_1C_1$ и $BC_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $C_1$, образуя угол $\angle A_1C_1B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1BC_1$, сторонами которого являются отрезки $A_1B$, $BC_1$ и $A_1C_1$.

Пусть ребро куба имеет длину $a$. Найдем длины сторон этого треугольника:

Сторона $A_1C_1$ является диагональю квадрата $A_1B_1C_1D_1$. По теореме Пифагора, ее длина равна $A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Сторона $BC_1$ является диагональю квадрата $BCC_1B_1$. Ее длина также равна $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Сторона $A_1B$ является диагональю квадрата $ABB_1A_1$. Ее длина также равна $A_1B = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle A_1BC_1$ равны ($A_1B = BC_1 = A_1C_1 = a\sqrt{2}$), он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle A_1C_1B = 60^\circ$.

Это означает, что угол между прямыми $AC$ и $BC_1$ составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

4. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямыми $AC_1$ и $BB_1$.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильная треугольная.

Длина всех ребер $a = 1$ см, то есть $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Угол $\alpha$ между прямыми $AC_1$ и $BB_1$.

Решение:

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

По определению, правильная треугольная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. В прямой призме все боковые ребра перпендикулярны основаниям и параллельны друг другу. Следовательно, боковое ребро $BB_1$ параллельно боковому ребру $CC_1$.

Тогда угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BB_1$ будет равен углу между прямыми $AC_1$ и $CC_1$, так как $BB_1 \parallel CC_1$. Эти прямые пересекаются в точке $C_1$, образуя угол $\angle AC_1C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$.

Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что ребро $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$. Таким образом, угол $\angle ACC_1$ является прямым, то есть $\angle ACC_1 = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ACC_1$ – прямоугольный треугольник.

Из условия задачи известно, что все ребра призмы равны 1 см. Значит, катеты данного прямоугольного треугольника равны:

$AC = 1$ см (как сторона основания).

$CC_1 = 1$ см (как боковое ребро).

Поскольку катеты треугольника $\triangle ACC_1$ равны, он является равнобедренным прямоугольным треугольником. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны по $45^\circ$. Значит, $\angle AC_1C = 45^\circ$.

Также можно найти этот угол с помощью тангенса:

$\tan(\angle AC_1C) = \frac{AC}{CC_1} = \frac{1}{1} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

$\angle AC_1C = 45^\circ$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AC_1$ и $BB_1$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

5. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямыми $SB$ и $CD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер равна 1 см.

$SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Угол между прямыми $SB$ и $CD$.

Решение:

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

В основании правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$. В квадрате противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).

Поскольку $AB \parallel CD$, то искомый угол между скрещивающимися прямыми $SB$ и $CD$ равен углу между пересекающимися прямыми $SB$ и $AB$. Эти прямые пересекаются в точке $B$, значит, искомый угол равен углу $\angle SBA$.

Рассмотрим боковую грань пирамиды — треугольник $\triangle SAB$. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1 см. Значит, стороны треугольника $\triangle SAB$ равны:

$SA = AB = SB = 1 \text{ см}$.

Так как все стороны треугольника $\triangle SAB$ равны, он является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle SBA = 60^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $SB$ и $CD$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

6. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите угол между прямыми $SB$ и $CD$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF

Сторона основания $a = 1$ см

Боковое ребро $l = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м

$l = 0.02$ м

Найти:

Угол $\alpha$ между прямыми SB и CD.

Решение:

Прямые SB и CD являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Для нахождения искомого угла выполним параллельный перенос одной из прямых. Рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть O — его центр. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине его стороны. Таким образом, $OB = OC = OD = 1$ см. По условию, стороны основания также равны 1 см, то есть $BC = 1$ см и $CD = 1$ см.

Рассмотрим четырехугольник BCDO. Все его стороны равны 1 см ($BC = CD = DO = OB = 1$ см). Следовательно, четырехугольник BCDO является ромбом. По свойству ромба, его противоположные стороны параллельны. Значит, прямая CD параллельна прямой BO ($CD \parallel BO$).

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми SB и CD равен углу между пересекающимися прямыми SB и BO. Эти прямые пересекаются в точке B, следовательно, искомый угол равен величине угла $\angle SBO$.

Найдем этот угол из треугольника $\triangle SBO$.

Поскольку пирамида SABCDEF является правильной, её вершина S проецируется в центр основания O. Это означает, что высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, SO перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку O, в том числе и прямой BO. Таким образом, $SO \perp BO$.

Это значит, что треугольник $\triangle SBO$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине O ($\angle SOB = 90^\circ$).

В этом прямоугольном треугольнике:

- гипотенуза SB является боковым ребром пирамиды, и её длина по условию $SB = l = 2$ см;

- катет BO равен расстоянию от центра основания до вершины, которое в правильном шестиугольнике равно длине стороны, то есть $BO = a = 1$ см.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, находим:

$\cos(\angle SBO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BO}{SB}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle SBO) = \frac{1}{2}$

Отсюда находим сам угол:

$\angle SBO = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Следовательно, угол между прямыми SB и CD равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер равна 1 см.

Перевод в систему СИ не требуется, так как ищется угол, который является безразмерной величиной.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Решение:

Прямые $AB$ и $C_1D_1$ являются скрещивающимися, так как они лежат в параллельных плоскостях оснований призмы ($ABC$) и ($A_1B_1C_1$) и не параллельны друг другу.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания — правильные шестиугольники, а боковые грани — прямоугольники. Плоскости оснований $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны.

Прямая $CD$ лежит в плоскости нижнего основания и параллельна прямой $C_1D_1$, лежащей в плоскости верхнего основания, так как $CDD_1C_1$ — прямоугольник (боковая грань).

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $C_1D_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $CD$, которые лежат в одной плоскости — плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Нам нужно найти угол между прямыми, содержащими стороны $AB$ и $CD$.

В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Таким образом, сторона $CD$ параллельна стороне $AF$.

Значит, искомый угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен углу между прямыми $AB$ и $AF$.

Прямые $AB$ и $AF$ пересекаются в точке $A$, и угол между ними — это внутренний угол правильного шестиугольника $\angle FAB$.

Величину внутреннего угла правильного $n$-угольника можно найти по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Для шестиугольника $n=6$, поэтому:

$\angle FAB = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

По определению, угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. При пересечении прямых $AB$ и $AF$ образуются два смежных угла: $120^\circ$ и $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Наименьший из этих углов равен $60^\circ$.

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $C_1D_1$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите угол между прямыми $AC$ и $BE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер (сторона основания и высота) равна 1 см.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $BE_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BE_1$ воспользуемся методом координат. Введем трехмерную прямоугольную систему координат.

Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим перпендикулярно плоскости основания, вдоль оси симметрии призмы. Ось $Ox$ направим через вершину $A$.

Так как призма правильная, ее основания — правильные шестиугольники. Все ребра равны 1, значит, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника, то есть 1.

Определим координаты вершин, необходимых для решения задачи.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):

• Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат: $A(1, 0, 0)$.

• Точка $B$ получается поворотом точки $A$ на угол $60^\circ$ вокруг оси $Oz$: $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) \Rightarrow B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Точка $C$ получается поворотом точки $A$ на угол $120^\circ$ вокруг оси $Oz$: $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) \Rightarrow C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Точка $E$ получается поворотом точки $A$ на угол $240^\circ$ вокруг оси $Oz$: $E(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) \Rightarrow E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины верхнего основания (плоскость $z=1$):

• Точка $E_1$ имеет те же координаты $x$ и $y$, что и точка $E$, а координата $z$ равна высоте призмы: $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $AC$ и $BE_1$.

• Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{-\frac{1}{2} - 1; \frac{\sqrt{3}}{2} - 0; 0 - 0\} = \{-\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\}$.

• Вектор $\vec{BE_1}$ имеет координаты: $\vec{BE_1} = \{x_{E_1} - x_B; y_{E_1} - y_B; z_{E_1} - z_B\} = \{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 - 0\} = \{-1; -\sqrt{3}; 1\}$.

Угол $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами. Формула для косинуса угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BE_1} = (-\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны), при условии, что они не нулевые. Найдем их длины, чтобы в этом убедиться.

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

$|\vec{BE_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

Длины векторов не равны нулю. Так как их скалярное произведение равно нулю, косинус угла между ними равен:

$\cos \alpha = \frac{0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = 0$.

Следовательно, угол $\alpha$ равен $\arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат интересующие нас вершины будут иметь следующие координаты: $A(a, 0, 0)$, $B(a, a, 0)$, $C(0, a, 0)$, $A_1(a, 0, a)$.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB$ и $CA_1$.

Для прямой $AB$ направляющим вектором является вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{a - a; a - 0; 0 - 0\} = \{0; a; 0\}$.

Для прямой $CA_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{CA_1}$:

$\vec{CA_1} = \{x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C\} = \{a - 0; 0 - a; a - 0\} = \{a; -a; a\}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}=\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{v}=\{x_2, y_2, z_2\}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA_1}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CA_1} = 0 \cdot a + a \cdot (-a) + 0 \cdot a = -a^2$.

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a$.

$|\vec{CA_1}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{-a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{-a^2}{a^2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол между прямыми по определению является острым (или прямым), его величина принадлежит промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$, поэтому его косинус не может быть отрицательным. Если косинус угла между направляющими векторами отрицателен, то это означает, что угол между векторами тупой. Угол между прямыми в этом случае будет смежным с углом между векторами, и его косинус будет равен модулю косинуса угла между векторами.

Следовательно, косинус искомого угла $\phi$ между прямыми $AB$ и $CA_1$ равен:

$\cos(\phi) = |\cos(\theta)| = |-\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

10. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $CD$. Найдите косинус угла между прямыми $BC$ и $AE$.

Дано:

ABCD - правильный тетраэдр.

E - середина ребра CD.

Найти:

Косинус угла $\alpha$ между прямыми BC и AE.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a$.

Выберем в качестве базисных векторов векторы, выходящие из вершины A: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Поскольку тетраэдр правильный, его грани являются равносторонними треугольниками. Следовательно, длины базисных векторов равны $a$, а углы между ними равны $60^\circ$.

$|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = a$.

Скалярные произведения базисных векторов равны:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AD} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Угол между прямыми BC и AE найдем как угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AE}$. Выразим эти векторы через базисные:

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Точка E — середина ребра CD, поэтому вектор $\vec{AE}$ можно выразить как полусумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD})$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AE}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{BC} \cdot \vec{AE}|}{|\vec{BC}| \cdot |\vec{AE}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AE}$:

$\vec{BC} \cdot \vec{AE} = (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{AC} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AD})$

$\vec{BC} \cdot \vec{AE} = \frac{1}{2}(|\vec{AC}|^2 + \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(a^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Теперь найдем длины векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AE}$.

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине ребра тетраэдра:

$|\vec{BC}| = a$.

Длину вектора $\vec{AE}$ найдем через скалярный квадрат. Заметим, что AE является медианой и, следовательно, высотой в равностороннем треугольнике ACD.

$|\vec{AE}|^2 = \vec{AE} \cdot \vec{AE} = \frac{1}{4}(\vec{AC} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{4}(|\vec{AC}|^2 + 2\vec{AC}\cdot\vec{AD} + |\vec{AD}|^2)$

$|\vec{AE}|^2 = \frac{1}{4}(a^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{2} + a^2) = \frac{1}{4}(a^2 + a^2 + a^2) = \frac{3a^2}{4}$.

Отсюда, $|\vec{AE}| = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{a^2/4}{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a^2/4}{a^2\sqrt{3}/2} = \frac{a^2}{4} \cdot \frac{2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{2}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Поскольку полученное значение положительно, оно является косинусом острого угла между прямыми.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильная треугольная.

Длина каждого ребра $a = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

$\cos(\alpha)$ – косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CA_1$ воспользуемся методом координат. Поскольку искомая величина (косинус угла) является безразмерной, для удобства расчетов примем длину ребра равной 1, без указания единиц измерения.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$.

1. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$.

2. Ось $Oz$ направим вдоль ребра $AA_1$.

3. Ось $Oy$ направим так, чтобы основание $ABC$ лежало в плоскости $Oxy$, а координата $y$ точки $C$ была положительной.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи.

Точка $A$ является началом координат, поэтому ее координаты $A(0; 0; 0)$.

Точка $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, следовательно, ее координаты $B(1; 0; 0)$.

Точка $A_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат, следовательно, ее координаты $A_1(0; 0; 1)$.

Основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 1. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, равна $h = a \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Основание высоты делит сторону $AB$ пополам. Следовательно, координаты точки $C$ равны $C(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.

Теперь определим координаты векторов, задающих направления прямых $AB$ и $CA_1$.

Направляющий вектор прямой $AB$ – это вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (1; 0; 0)$.

Направляющий вектор прямой $CA_1$ – это вектор $\vec{CA_1}$:

$\vec{CA_1} = (x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C) = (0 - \frac{1}{2}; 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 - 0) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами и вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CA_1}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CA_1}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{CA_1} = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot 1 = -\frac{1}{2}$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

$|\vec{CA_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|-\frac{1}{2}|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, точка $E$ — середина ребра $SD$, найдите тангенс угла между прямыми $SB$ и $AE$.

Дано:

SABCD – правильная четырехугольная пирамида.
Длина всех ребер (основания и боковых) равна 1 см.
E – середина ребра SD.

Найти:

Тангенс угла между прямыми SB и AE.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми SB и AE воспользуемся векторным методом. Угол $\alpha$ между прямыми определяется через косинус угла между их направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по формуле:$ \cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} $

В качестве направляющих векторов выберем векторы $\vec{SB}$ и $\vec{AE}$. Поместим начало координат в вершину A. Тогда координаты основных точек и векторов можно определить через базисные векторы $\vec{AD}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AS}$.

По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что основание ABCD - квадрат со стороной 1, а боковые грани (например, $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$) - равносторонние треугольники со стороной 1.

Выразим векторы $\vec{SB}$ и $\vec{AE}$ через векторы, выходящие из вершины A:
1. Вектор $\vec{SB}$: по правилу треугольника, $\vec{AS} + \vec{SB} = \vec{AB}$, откуда $\vec{SB} = \vec{AB} - \vec{AS}$.
2. Вектор $\vec{AE}$: точка E - середина ребра SD. Для вектора медианы $\vec{AE}$ треугольника $\triangle ASD$ справедлива формула: $\vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AS} + \vec{AD})$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{SB}$ и $\vec{AE}$:
$\vec{SB} \cdot \vec{AE} = (\vec{AB} - \vec{AS}) \cdot \frac{1}{2}(\vec{AS} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} \cdot \vec{AS} + \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AS} \cdot \vec{AS} - \vec{AS} \cdot \vec{AD})$

Вычислим необходимые скалярные произведения:
• $|\vec{AB}| = 1$, $|\vec{AS}| = 1$, $|\vec{AD}| = 1$.
• $\vec{AB} \cdot \vec{AS} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AS}| \cdot \cos(\angle SAB)$. Так как $\triangle SAB$ равносторонний, $\angle SAB = 60^\circ$. Значит, $\vec{AB} \cdot \vec{AS} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
• $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB)$. Так как ABCD - квадрат, $\angle DAB = 90^\circ$. Значит, $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(90^\circ) = 0$.
• $\vec{AS} \cdot \vec{AS} = |\vec{AS}|^2 = 1^2 = 1$.
• $\vec{AS} \cdot \vec{AD} = |\vec{AS}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle SAD)$. Так как $\triangle SAD$ равносторонний, $\angle SAD = 60^\circ$. Значит, $\vec{AS} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для скалярного произведения:
$\vec{SB} \cdot \vec{AE} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + 0 - 1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем модули (длины) векторов $\vec{SB}$ и $\vec{AE}$:
• $|\vec{SB}|$ - это длина ребра SB, которая по условию равна 1.
• $|\vec{AE}|$ - это длина медианы в равностороннем треугольнике $\triangle SAD$ со стороной 1. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $|\vec{AE}| = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем косинус угла $\alpha$ между прямыми:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{SB} \cdot \vec{AE}|}{|\vec{SB}| \cdot |\vec{AE}|} = \frac{|-1/2|}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Нам нужно найти тангенс угла. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} - 1 = \frac{1}{1/3} - 1 = 3 - 1 = 2$.
Так как угол между прямыми острый, его тангенс положителен: $\tan \alpha = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $FE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $FE_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $FE_1$ воспользуемся методом координат. Пусть ребро призмы равно $a=1$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ основания. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ - вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Oy$ будет лежать в плоскости основания $ABC$ перпендикулярно оси $Ox$.

Найдем координаты необходимых точек.Точка $A$ - начало координат, поэтому ее координаты $A(0, 0, 0)$.Точка $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от $A$, поэтому ее координаты $B(1, 0, 0)$.Точка $F$ лежит в плоскости $xy$. Угол в правильном шестиугольнике $\angle FAB = 120^\circ$. Координаты $F$ равны $(a \cdot \cos(120^\circ), a \cdot \sin(120^\circ), 0)$, что при $a=1$ дает $F(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.Найдем координаты точки $E$. В правильном шестиугольнике вектор $\vec{FE}$ параллелен вектору $\vec{BC}$. Вектор $\vec{BC}$ образует угол $60^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$, так как внутренний угол шестиугольника $\angle ABC=120^\circ$. Длина $|\vec{FE}|=1$. Следовательно, вектор $\vec{FE}$ имеет координаты $(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.Координаты точки $E$ найдем как сумму координат точки $F$ и вектора $\vec{FE}$:$E = F + \vec{FE} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) + (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.Точка $E_1$ получается из точки $E$ сдвигом вдоль оси $Oz$ на высоту призмы, равную 1. Таким образом, $E_1(0, \sqrt{3}, 1)$.

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $AB$ и $FE_1$.Направляющий вектор для прямой $AB$ это $\vec{AB} = B - A = (1, 0, 0)$.Направляющий вектор для прямой $FE_1$ это $\vec{FE_1} = E_1 - F = (0 - (-\frac{1}{2}), \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми (векторами) вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{FE_1}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{FE_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{FE_1} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{FE_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos \alpha = \frac{|\frac{1}{2}|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина ребра основания $a=1$ см.

Длина бокового ребра $h=1$ см.

Найти:

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат.

Поместим начало координат в точку A. Ось Ox направим вдоль ребра AB. Ось Oz направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось Oy будет перпендикулярна осям Ox и Oz, дополняя систему до правой тройки.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи. Длина всех ребер равна 1. Угол в основании правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

• Координаты точки A: $A(0; 0; 0)$.
• Поскольку ребро $AB=1$ и лежит на оси Ox, координаты точки B: $B(1; 0; 0)$.
• Точка $A_1$ лежит на оси Oz на расстоянии 1 от начала координат, ее координаты: $A_1(0; 0; 1)$.
• Для нахождения координат точки C спроецируем ее на плоскость Oxy. Вектор $\vec{BC}$ имеет длину 1 и образует с вектором $\vec{BA}$ угол $120^\circ$. Вектор $\vec{BA}$ направлен против оси Ox. Значит, вектор $\vec{BC}$ образует с положительным направлением оси Ox угол $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
• Проекции вектора $\vec{BC}$ на оси координат: $BC_x = BC \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, $BC_y = BC \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Координаты точки C равны сумме координат точки B и проекций вектора $\vec{BC}$: $C(x_B + BC_x; y_B + BC_y; z_B) = C(1 + \frac{1}{2}; 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}; 0) = C(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.
• Координаты точек верхнего основания получаются сдвигом соответствующих точек нижнего основания на вектор $(0; 0; 1)$. Таким образом, координаты точек $B_1$ и $C_1$:
• $B_1(1; 0; 1)$.
• $C_1(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

Теперь найдем координаты векторов, соответствующих прямым $AB_1$ и $BC_1$.

Вектор $\vec{AB_1} = (x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A) = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$.

Вектор $\vec{BC_1} = (x_{C_1} - x_B; y_{C_1} - y_B; z_{C_1} - z_B) = (\frac{3}{2}-1; \frac{\sqrt{3}}{2}-0; 1-0) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} + 0 + 1 = \frac{3}{2}$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos(\alpha) = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите косинус угла между прямыми $SB$ и $AE$.

Дано:

SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида
Стороны основания $a = 1$ см
Боковые ребра $l = 2$ см

Поскольку в ответе требуется найти безразмерную величину (косинус угла), а все данные приведены в одинаковых единицах измерения, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла между прямыми SB и AE.

Решение:

Прямые SB и AE являются скрещивающимися, так как лежат в разных плоскостях и не пересекаются. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным.

Рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник ABCDEF. В правильном шестиугольнике диагональ AE параллельна диагонали BD. Следовательно, угол между прямыми SB и AE равен углу между прямыми SB и BD. Эти прямые пересекаются в точке B, поэтому искомый угол равен углу $\angle SBD$.

Для нахождения косинуса угла $\angle SBD$ рассмотрим треугольник $\triangle SBD$ и найдем длины его сторон.

1. Стороны SB и SD являются боковыми ребрами пирамиды. По условию задачи, их длины равны 2 см.
$SB = 2$ см, $SD = 2$ см.

2. Сторона BD является малой диагональю правильного шестиугольника в основании. Найдем ее длину из треугольника $\triangle BCD$.
В правильном шестиугольнике все стороны равны 1 см, а все внутренние углы равны $120^\circ$.
В треугольнике $\triangle BCD$ имеем: $BC = CD = 1$ см, а угол между ними $\angle BCD = 120^\circ$.
Применим теорему косинусов:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = -0.5$, получаем:
$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
$BD = \sqrt{3}$ см.

3. Теперь мы знаем все стороны треугольника $\triangle SBD$: $SB = 2$ см, $SD = 2$ см, $BD = \sqrt{3}$ см. Этот треугольник является равнобедренным.
Чтобы найти косинус угла $\angle SBD$, снова применим теорему косинусов, но уже для $\triangle SBD$:
$SD^2 = SB^2 + BD^2 - 2 \cdot SB \cdot BD \cdot \cos(\angle SBD)$
Подставим известные значения:
$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$
$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$
$4 = 7 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$
Перенесем слагаемые, чтобы выразить косинус:
$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD) = 7 - 4$
$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD) = 3$
$\cos(\angle SBD) = \frac{3}{4\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$\cos(\angle SBD) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Косинус угла между прямыми является неотрицательной величиной, так как угол по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Полученное значение $\frac{\sqrt{3}}{4} > 0$, что является корректным.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.