Страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма,
все ребра равны 1 см, т.е. $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.

Найти:

Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Решение:

Прямые $AA_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися, так как они не параллельны и не пересекаются. Прямая $AA_1$ принадлежит плоскости боковой грани $ABB_1A_1$, а прямая $BC_1$ пересекает эту плоскость в точке $B$, но не лежит в ней.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра. Один из методов нахождения этого расстояния — это нахождение расстояния от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Рассмотрим плоскость боковой грани $BCC_1B_1$. Эта плоскость содержит прямую $BC_1$.

По определению правильной призмы, ее боковые ребра параллельны между собой. Следовательно, ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$.

Поскольку прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, а прямая $BB_1$ лежит в плоскости $(BCC_1)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BCC_1)$.

Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BC_1$ равно расстоянию от прямой $AA_1$ до параллельной ей плоскости $(BCC_1)$.

Поскольку прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BCC_1)$, расстояние от любой точки прямой $AA_1$ до этой плоскости будет одинаковым. Выберем точку $A$ и найдем расстояние от нее до плоскости $(BCC_1)$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$. Проведем в этом треугольнике высоту $AH$ к стороне $BC$.

Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, ее боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что плоскость боковой грани $(BCC_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Линией пересечения этих двух перпендикулярных плоскостей является прямая $BC$. Построеная нами высота $AH$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярна линии пересечения $BC$ ($AH \perp BC$).

Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из них, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости. Следовательно, $AH$ перпендикулярна плоскости $(BCC_1)$.

Это означает, что длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $(BCC_1)$, а следовательно, и расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Найдем длину высоты $AH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = 1$ см. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому точка $H$ — середина стороны $BC$, и $BH = \frac{1}{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора:
$AH^2 + BH^2 = AB^2$
$AH^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$
$AH^2 + \frac{1}{4} = 1$
$AH^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$AH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $C_1 D_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1 см.

Это означает, что сторона основания $a = 1$ см, и высота призмы $h = 1$ см.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Решение:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем это расстояние, используя метод проекций, а затем проверим результат методом координат.

Способ 1: Геометрический (метод проекций)

1. Прямые $AB$ и $C_1D_1$ являются скрещивающимися, так как прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$, а прямая $C_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$, и эти плоскости параллельны. При этом прямые $AB$ и $C_1D_1$ не параллельны друг другу (в проекции на основание они пересекаются).

2. Спроецируем прямую $C_1D_1$ на плоскость нижнего основания. Так как призма правильная (и, следовательно, прямая), проекцией отрезка $C_1D_1$ будет отрезок $CD$, равный и параллельный ему.

3. Теперь задача сводится к поиску расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $C_1D_1$, причем проекция второй прямой на плоскость первой — это прямая $CD$.

4. Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Прямые, содержащие эти отрезки, пересекаются. Это означает, что существует единственная вертикальная прямая, которая пересекает обе прямые $AB$ и $C_1D_1$ (в их бесконечном продолжении). Эта вертикальная прямая и будет их общим перпендикуляром, так как обе прямые $AB$ и $C_1D_1$ перпендикулярны любой вертикальной прямой (поскольку они лежат в горизонтальных плоскостях).

5. Длина этого общего перпендикуляра будет равна расстоянию между плоскостями, в которых лежат наши прямые. Прямая $AB$ лежит в плоскости $z=0$, а прямая $C_1D_1$ — в плоскости $z=h=1$.

6. Таким образом, расстояние между прямыми равно высоте призмы.

По условию все ребра равны 1 см, значит, высота призмы $h = 1$ см.

Следовательно, искомое расстояние равно 1 см.

Способ 2: Метод координат (для проверки)

Введем систему координат с центром в центре нижнего основания $O(0,0,0)$ и осью $Ox$, проходящей через вершину $A$. Тогда координаты вершин:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C_1 = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $D_1 = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 1) = (-1, 0, 1)$

Расстояние $\rho$ между скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $M_1$ и $M_2$ с направляющими векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ соответственно, находится по формуле:$\rho = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

Для прямой $AB$: точка $M_1 = A(1,0,0)$, направляющий вектор $\vec{s_1} = \vec{AB} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Для прямой $C_1D_1$: точка $M_2 = C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{C_1D_1} = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор между точками: $\vec{M_1M_2} = \vec{AC_1} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Векторное произведение: $\vec{s_1} \times \vec{s_2} = (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Смешанное произведение: $\vec{AC_1} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \cdot (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Искомое расстояние: $\rho = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$.

Ответ: 1 см

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $DE_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.
Длина ребра основания $a = 1 \text{ см}$.
Длина бокового ребра (высота) $h = 1 \text{ см}$.

$a = 0.01 \text{ м}$
$h = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $DE_1$.

Решение:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Его можно найти как расстояние между двумя параллельными плоскостями, каждая из которых содержит одну из этих прямых.

Рассмотрим прямую $AB_1$. Она лежит в плоскости боковой грани $(ABB_1A_1)$, так как точки $A$ и $B_1$ принадлежат этой плоскости.

Рассмотрим прямую $DE_1$. Она лежит в плоскости боковой грани $(DEE_1D_1)$, так как точки $D$ и $E_1$ принадлежат этой плоскости.

Докажем, что плоскости $(ABB_1A_1)$ и $(DEE_1D_1)$ параллельны. Для этого достаточно показать, что две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости.

1. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Сторона $AB$ противолежит стороне $ED$. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $ED$ (или $DE$).

2. Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, а значит, прямая. Ее боковые ребра перпендикулярны основаниям и параллельны друг другу. Следовательно, боковое ребро $AA_1$ параллельно боковому ребру $DD_1$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $AB$ и $AA_1$ в плоскости $(ABB_1A_1)$ параллельны двум пересекающимся прямым $DE$ и $DD_1$ в плоскости $(DEE_1D_1)$. Значит, плоскость $(ABB_1A_1)$ параллельна плоскости $(DEE_1D_1)$.

Раз искомые прямые $AB_1$ и $DE_1$ лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями.

Расстояние между параллельными плоскостями боковых граней $(ABB_1A_1)$ и $(DEE_1D_1)$ постоянно и равно расстоянию между их основаниями — параллельными прямыми $AB$ и $DE$ в плоскости основания.

Найдем расстояние между прямыми $AB$ и $DE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Это расстояние равно удвоенному апофеме (радиусу вписанной окружности) правильного шестиугольника. Апофема $r$ равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$.

Формула для высоты равностороннего треугольника (апофемы шестиугольника):

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значение $a=1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$

Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DE$ равно $d = 2r$.

$d = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$

Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $DE_1$ также равно $\sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

9. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$, которое обозначим как $\rho(BA_1, DB_1)$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $x$ вдоль ребра $DA$, ось $y$ — вдоль ребра $DC$, а ось $z$ — вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$D(0, 0, 0)$

$A(1, 0, 0)$

$C(0, 1, 0)$

$D_1(0, 0, 1)$

$B(1, 1, 0)$ (так как $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}$)

$A_1(1, 0, 1)$

$B_1(1, 1, 1)$

$C_1(0, 1, 1)$

Прямые $BA_1$ и $DB_1$ являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми $l_1$ и $l_2$ можно найти по формуле:

$\rho(l_1, l_2) = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$

где $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ — направляющие векторы прямых $l_1$ и $l_2$, а $M_1$ и $M_2$ — точки, принадлежащие этим прямым соответственно.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{u_1}$ для прямой $BA_1$. Эта прямая проходит через точки $B(1, 1, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

$\vec{u_1} = \vec{A_1B} = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$.

В качестве точки $M_1$ на этой прямой возьмем точку $B(1, 1, 0)$.

2. Найдем направляющий вектор $\vec{u_2}$ для прямой $DB_1$. Эта прямая проходит через точки $D(0, 0, 0)$ и $B_1(1, 1, 1)$.

$\vec{u_2} = \vec{DB_1} = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

В качестве точки $M_2$ на этой прямой возьмем точку $D(0, 0, 0)$.

3. Найдем вектор $\vec{M_2M_1}$, соединяющий точки на прямых.

$\vec{M_2M_1} = \vec{DB} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$.

4. Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$.

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (2, -1, -1)$.

5. Найдем модуль векторного произведения.

$|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.

6. Вычислим смешанное произведение (числитель формулы).

$\vec{M_2M_1} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (1, 1, 0) \cdot (2, -1, -1) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = 2 - 1 + 0 = 1$.

7. Подставим найденные значения в формулу для расстояния.

$\rho(BA_1, DB_1) = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$.

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

Длина всех ребер $AB = BC = AC = AA_1 = CC_1 = BB_1 = 1$ см.

Перевод в СИ: $1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$, которое обозначим как $\rho(CC_1, AB)$.

Решение:

По определению, правильная треугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямые $CC_1$ и $AB$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рассмотрим основание призмы — треугольник $ABC$. Так как призма правильная, треугольник $ABC$ является равносторонним, и по условию все его стороны равны 1 см.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CH$ из вершины $C$ на сторону $AB$. В равностороннем треугольнике высота также является и медианой, поэтому точка $H$ — это середина отрезка $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$.

Так как призма является правильной, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Из этого следует, что прямая $CC_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. В частности, $CC_1 \perp CH$.

Таким образом, мы установили, что отрезок $CH$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым: $CH \perp AB$ и $CH \perp CC_1$. Поскольку точка $C$ принадлежит прямой $CC_1$, а точка $H$ принадлежит прямой $AB$, отрезок $CH$ является общим перпендикуляром к прямым $CC_1$ и $AB$. Его длина и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $CH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$ см. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$.

Гипотенуза $AC = 1$ см (по условию).

Катет $AH$ равен половине стороны $AB$, так как в равностороннем треугольнике высота $CH$ является также и медианой: $AH = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$ см.

По теореме Пифагора $AC^2 = AH^2 + CH^2$:

$CH^2 = AC^2 - AH^2$

$CH^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$CH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$ равно длине отрезка $CH$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ – правильная треугольная призма.
Все ребра равны 1 см.
$AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = AA_1 = BB_1 = CC_1 = a = 1$ см.

$a = 1$ см = $0.01$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$, то есть $d(AB, CB_1)$.

Решение:

Прямые $AB$ и $CB_1$ являются скрещивающимися, так как прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$, а прямая $CB_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$, не лежащей на прямой $AB$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$, так как основания призмы параллельны. Построим плоскость, проходящую через прямую $CB_1$ и параллельную прямой $AB$. Так как $A_1B_1 \parallel AB$, то плоскость, проходящая через точки $A_1$, $B_1$ и $C$, будет параллельна прямой $AB$. Эта плоскость $(A_1B_1C)$ содержит прямую $CB_1$, поскольку проходит через точки $C$ и $B_1$.

Таким образом, искомое расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $AB$ до плоскости $(A_1B_1C)$. Выберем точку $A$ и найдем расстояние от нее до плоскости $(A_1B_1C)$. Обозначим это расстояние как $h$.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $AA_1B_1C$. Его объем $V$ можно вычислить двумя способами.

1. С одной стороны, объем тетраэдра равен $V = \frac{1}{3} S_{A_1B_1C} \cdot h$, где $h = d(A, (A_1B_1C))$ – искомое расстояние.

2. С другой стороны, выберем в качестве основания тетраэдра грань $CAA_1$. Тогда объем $V = \frac{1}{3} S_{CAA_1} \cdot h_{B_1}$, где $h_{B_1}$ – высота, опущенная из вершины $B_1$ на плоскость $(CAA_1)$.

Найдем величины, необходимые для второго способа расчета объема. Плоскость $(CAA_1)$ совпадает с плоскостью боковой грани $(ACC_1A_1)$. Высота $h_{B_1}$ – это расстояние от точки $B_1$ до плоскости $(ACC_1A_1)$. Поскольку боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то расстояние от точки $B_1$ до плоскости $(ACC_1A_1)$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $AC$ в основании. В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a=1$ см. Расстояние от $B$ до $AC$ – это высота треугольника $ABC$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $h_{B_1} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Так как призма правильная, боковая грань $ACC_1A_1$ является квадратом со стороной 1 см (поскольку все ребра равны 1 см). Треугольник $CAA_1$ является прямоугольным с катетами $AC=1$ см и $AA_1=1$ см. Его площадь $S_{CAA_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.

Теперь можем вычислить объем тетраэдра: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{CAA_1} \cdot h_{B_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Теперь вернемся к первому способу. Найдем площадь треугольника $A_1B_1C$. Для этого определим длины его сторон:
- $A_1B_1 = 1$ см (ребро призмы).
- $CB_1$ – диагональ боковой грани $BCC_1B_1$, которая является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора, $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.
- $CA_1$ – диагональ боковой грани $ACC_1A_1$, которая также является квадратом. $CA_1 = \sqrt{AC^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Треугольник $A_1B_1C$ – равнобедренный со сторонами $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ и $1$. Найдем его площадь. Проведем высоту $CK$ к основанию $A_1B_1$. Так как треугольник равнобедренный, $K$ – середина $A_1B_1$, поэтому $A_1K = \frac{1}{2}$ см. Из прямоугольного треугольника $CKA_1$ по теореме Пифагора: $CK^2 = CA_1^2 - A_1K^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$. $CK = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Площадь треугольника $A_1B_1C$: $S_{A_1B_1C} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

Наконец, найдем искомое расстояние $h$ из формулы объема: $h = \frac{3V}{S_{A_1B_1C}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$ см.

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Все ребра равны 1 см:

$AB = BC = CD = DA = 1$ см

$SA = SB = SC = SD = 1$ см

Найти:

Расстояние между скрещивающимися прямыми SB и AC, $d(SB, AC)$.

Решение:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Найдем его, используя свойства правильной пирамиды.

1. Пусть O – центр квадрата ABCD, который является точкой пересечения его диагоналей. Так как пирамида правильная, отрезок SO является её высотой, а значит, $SO \perp (ABC)$.

2. В основании пирамиды лежит квадрат, поэтому его диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

3. Прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SO$, которые лежат в плоскости $SBD$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости $SBD$, то есть $AC \perp (SBD)$.

4. Прямая SB лежит в плоскости $SBD$. Общий перпендикуляр к прямым AC и SB должен быть перпендикулярен обеим этим прямым. Поскольку он перпендикулярен прямой AC, он должен лежать в плоскости, проходящей через точку пересечения O и перпендикулярной AC. Этой плоскостью является SBD. Значит, общий перпендикуляр исходит из точки O на прямой AC и опускается на прямую SB.

5. Таким образом, искомое расстояние – это длина высоты OQ, проведенной из вершины O на прямую SB в треугольнике SOB. Так как SO - высота пирамиды, то $SO \perp OB$, и треугольник SOB - прямоугольный с прямым углом при вершине O.

6. Найдем длины катетов треугольника SOB:

- Сторона основания (квадрата) $AB = 1$ см. Диагональ квадрата вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$, поэтому $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

- Точка O является серединой диагонали BD, поэтому катет $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

- Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. Гипотенуза SB (боковое ребро) равна 1 см по условию. Найдем второй катет SO (высоту пирамиды) по теореме Пифагора:

$SO^2 + OB^2 = SB^2$

$SO^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2$

$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

7. Теперь найдем длину высоты OQ в прямоугольном треугольнике SOB, проведенной к гипотенузе SB. Для этого воспользуемся методом площадей. Площадь прямоугольного треугольника SOB равна половине произведения катетов:

$S_{\triangle SOB} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ см$^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

$S_{\triangle SOB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot OQ$

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти OQ:

$\frac{1}{2} \cdot SB \cdot OQ = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot OQ = \frac{1}{4}$

$OQ = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Итак, искомое расстояние между прямыми SB и AC равно 0.5 см.

Ответ: $\frac{1}{2}$ см.

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $SA$ и $CD$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны 1 см, то есть: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$ см.

Найти:

Расстояние между прямыми SA и CD, которое обозначается как $\rho(SA, CD)$.

Решение:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом параллельных плоскостей.

1. Прямые SA и CD являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны.

2. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD, поэтому сторона CD параллельна стороне AB ($CD \parallel AB$).

3. Поскольку прямая CD параллельна прямой AB, а прямая AB лежит в плоскости грани SAB, то прямая CD параллельна всей плоскости SAB ($CD \parallel (SAB)$).

4. Расстояние от прямой CD до скрещивающейся с ней прямой SA (которая лежит в плоскости SAB) равно расстоянию от любой точки прямой CD до плоскости SAB. Для удобства выберем точку C.

5. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки C до плоскости (SAB). Это расстояние можно найти, вычислив объем тетраэдра SABC двумя способами.

Вычисление объема тетраэдра SABC.

С одной стороны, объем тетраэдра можно найти, приняв за основание треугольник ABC, а за высоту - высоту пирамиды SO (где O - центр квадрата ABCD).

Основание ABC — это прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $AB = BC = 1$ см.

Его площадь: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.

Высота пирамиды SO находится из прямоугольного треугольника SOA. Гипотенуза $SA = 1$ см. Катет AO равен половине диагонали квадрата AC. Диагональ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Следовательно, $AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle SOA$:

$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Объем тетраэдра SABC равен:

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ см$^3$.

С другой стороны, объем того же тетраэдра можно вычислить, приняв за основание треугольник SAB, а за высоту — искомое расстояние $h$ от точки C до плоскости (SAB).

Основание SAB — равносторонний треугольник, так как все ребра пирамиды равны 1 см.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a=1$ см равна:

$S_{SAB} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

Объем тетраэдра SABC (или C-SAB) равен:

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{SAB} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{h\sqrt{3}}{12}$.

Нахождение расстояния.

Приравнивая два выражения для объема, получаем:

$\frac{h\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

Отсюда:

$h\sqrt{3} = \sqrt{2}$

$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Искомое расстояние между прямыми SA и CD равно $h$.

Ответ: расстояние между прямыми SA и CD равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AF$.

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.
Сторона основания $a = 1$ см.
Боковое ребро $l = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м.
$l = 0.02$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AF$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $SB$ и $AF$ воспользуемся координатным методом. Введем декартову систему координат с началом в центре основания пирамиды (точка $O$). Ось $Oz$ направим по высоте пирамиды $SO$, а оси $Ox$ и $Oy$ расположим в плоскости основания $ABCDEF$.

В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Радиус описанной около него окружности также равен $R=a=1$. Расположим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$. Тогда координаты вершин шестиугольника будут следующими:

$A(R\cos(0^\circ); R\sin(0^\circ); 0) \Rightarrow A(1; 0; 0)$

$B(R\cos(60^\circ); R\sin(60^\circ); 0) \Rightarrow B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$

$F(R\cos(-60^\circ); R\sin(-60^\circ); 0) \Rightarrow F(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$

Вершина пирамиды $S$ находится на оси $Oz$, ее координаты $S(0; 0; h)$, где $h=SO$ – высота пирамиды. Найдем высоту из прямоугольного треугольника $SOA$. Катет $OA$ равен радиусу описанной окружности ($OA=1$), гипотенуза $SA$ – боковое ребро ($SA=2$). По теореме Пифагора:

$h^2 = SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2^2 - 1^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Следовательно, координаты вершины $S(0; 0; \sqrt{3})$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $M_1$, $M_2$ и направляющими векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле смешанного произведения:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

Для прямой $SB$ в качестве точки $M_1$ возьмем точку $S(0; 0; \sqrt{3})$, а в качестве направляющего вектора $\vec{s_1}$ – вектор $\vec{SB}$.

$\vec{s_1} = \vec{SB} = \{\frac{1}{2}-0; \frac{\sqrt{3}}{2}-0; 0-\sqrt{3}\} = \{\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; -\sqrt{3}\}$

Для прямой $AF$ в качестве точки $M_2$ возьмем точку $A(1; 0; 0)$, а в качестве направляющего вектора $\vec{s_2}$ – вектор $\vec{AF}$.

$\vec{s_2} = \vec{AF} = \{\frac{1}{2}-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}-0; 0-0\} = \{-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0\}$

Вектор, соединяющий точки $M_1$ и $M_2$:

$\vec{M_1M_2} = \vec{SA} = \{1-0; 0-0; 0-\sqrt{3}\} = \{1; 0; -\sqrt{3}\}$

Вычислим векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}= \vec{i}(0 - \frac{3}{2}) - \vec{j}(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) + \vec{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = \{-\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\}$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

Теперь найдем скалярное произведение вектора $\vec{SA}$ на векторное произведение (смешанное произведение):

$\vec{SA} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = 1 \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\sqrt{3}) \cdot 0 = -\frac{3}{2}$

Подставим значения в формулу для расстояния, взяв модуль смешанного произведения:

$d = \frac{|-3/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$ см, а боковые ребра равны $2$ см, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ см

Боковое ребро $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$ см

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AE$, которое обозначим как $\rho(SB, AE)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре основания пирамиды, точке $O$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$. Ось $Ox$ направим через вершины $A$ и $D$. Тогда основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$.

1. Найдем координаты вершин основания.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$ см.

Координаты вершин, лежащих в плоскости $z=0$, можно найти, зная, что угол между радиус-векторами соседних вершин составляет $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

$A = (1 \cdot \cos(0^\circ), 1 \cdot \sin(0^\circ), 0) = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

2. Найдем координаты вершины $S$.

Вершина $S$ лежит на оси $Oz$, поэтому ее координаты $(0, 0, h)$, где $h=SO$ - высота пирамиды. Найдем высоту из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$).

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, координаты вершины $S(0, 0, \sqrt{3})$.

3. Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми $SB$ и $AE$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Рассмотрим векторы, соответствующие диагоналям основания $AE$ и $BD$.

$\vec{AE} = E - A = (-\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{BD} = D - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Так как $\vec{AE} = \vec{BD}$, прямые $AE$ и $BD$ параллельны ($AE \parallel BD$).

Поскольку прямая $AE$ параллельна прямой $BD$, а прямая $BD$ лежит в плоскости $(SBD)$, то прямая $AE$ параллельна плоскости $(SBD)$.

Следовательно, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $SB$ и $AE$ равно расстоянию от любой точки прямой $AE$ (например, точки $A$) до плоскости $(SBD)$.

$\rho(SB, AE) = \rho(AE, (SBD)) = \rho(A, (SBD))$

4. Составим уравнение плоскости $(SBD)$.

Уравнение плоскости имеет вид $ax+by+cz+d=0$, где $(a, b, c)$ - координаты вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости.

Найдем вектор нормали как векторное произведение векторов $\vec{DS}$ и $\vec{DB}$:

$\vec{DS} = S - D = (0 - (-1), 0 - 0, \sqrt{3} - 0) = (1, 0, \sqrt{3})$

$\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{n} = \vec{DS} \times \vec{DB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & \sqrt{3} \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2}) + \vec{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}\vec{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\vec{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{k}$

Координаты вектора нормали: $\vec{n} = (-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Для удобства можно взять коллинеарный вектор, умножив $\vec{n}$ на $-2$: $\vec{n'} = (3, -3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости $(SBD)$ имеет вид: $3x - 3\sqrt{3}y - \sqrt{3}z + d = 0$.

Для нахождения коэффициента $d$ подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, $D(-1, 0, 0)$:

$3(-1) - 3\sqrt{3}(0) - \sqrt{3}(0) + d = 0 \implies -3 + d = 0 \implies d = 3$.

Уравнение плоскости $(SBD)$: $3x - 3\sqrt{3}y - \sqrt{3}z + 3 = 0$.

5. Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости $3x - 3\sqrt{3}y - \sqrt{3}z + 3 = 0$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$\rho = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$\rho(A, (SBD)) = \frac{|3(1) - 3\sqrt{3}(0) - \sqrt{3}(0) + 3|}{\sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|3+3|}{\sqrt{9 + 9 \cdot 3 + 3}} = \frac{6}{\sqrt{9+27+3}} = \frac{6}{\sqrt{39}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{6}{\sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{39}}{39} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Ответ: Расстояние между прямыми $SB$ и $AE$ равно $\frac{2\sqrt{39}}{13}$ см.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.
Длина всех ребер $a = 1$ см.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$, то есть $\rho(BB_1, EF_1)$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $EF_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Для нахождения этого расстояния можно использовать следующий метод: найти расстояние от одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой.

Рассмотрим прямую $BB_1$ и плоскость грани $EFF_1E_1$. Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, она является прямой призмой. Это означает, что все ее боковые ребра перпендикулярны основаниям и параллельны друг другу. Следовательно, боковое ребро $BB_1$ параллельно боковому ребру $EE_1$: $BB_1 \parallel EE_1$.

Прямая $EE_1$ лежит в плоскости грани $(EFF_1E_1)$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $(EFF_1E_1)$.

Расстояние от прямой $BB_1$ до прямой $EF_1$, лежащей в плоскости $(EFF_1E_1)$, равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $(EFF_1E_1)$. Возьмем точку $B$ на прямой $BB_1$. Искомое расстояние равно $\rho(B, (EFF_1E_1))$.

Так как призма прямая, ее боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, плоскость $(EFF_1E_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCDEF)$.

Расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости основания, до плоскости боковой грани $(EFF_1E_1)$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на линию пересечения этих плоскостей, то есть на прямую $EF$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до прямой, содержащей сторону $EF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. В частности, сторона $BC$ параллельна главной диагонали $AD$, а сторона $FE$ также параллельна главной диагонали $AD$. Следовательно, $BC \parallel FE$.

Расстояние от точки $B$ (которая лежит на прямой $BC$) до прямой $FE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $FE$.

Найдем это расстояние. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны называется апофемой. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ апофема $h$ равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае $a=1$ см, поэтому расстояние от центра $O$ до любой стороны равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Прямые $BC$ и $FE$ находятся по разные стороны от центра $O$. Расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой из этих прямых: $\rho(BC, FE) = \rho(O, BC) + \rho(O, FE) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$ равно $\sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

1. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $BB_1$, $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$ (единичный куб)

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки K, L, M, где:

K - середина ребра $AA_1$

L - середина ребра $BB_1$

M - середина ребра $B_1C_1$

Найти:

1. Построить сечение куба плоскостью $\alpha$.

2. Найти площадь этого сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину A, а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер AB, AD и $AA_1$ соответственно.

В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты точек K, L и M, через которые проходит секущая плоскость:

• K — середина ребра $AA_1$. $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 0, \frac{1}{2})$
• L — середина ребра $BB_1$. $L = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, \frac{1}{2})$
• M — середина ребра $B_1C_1$. $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 1)$

Построение сечения:

1. Точки K и L принадлежат одной грани $AA_1B_1B$. Соединяем их, получая отрезок KL — одну из сторон сечения.

2. Точки L и M лежат в грани $BB_1C_1C$. Однако, для полного построения сечения удобнее использовать свойство параллельности. Секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым.

3. Грань $AA_1B_1B$ (плоскость $x=1$, если начало в D) параллельна грани $DD_1C_1C$ ($x=0$). Но мы используем начало в А. Грань $AA_1D_1D$ (плоскость $x=0$) параллельна грани $BB_1C_1C$ (плоскость $x=1$). Линия пересечения сечением грани $AA_1D_1D$ должна быть параллельна линии пересечения грани $BB_1C_1C$. Линия пересечения в грани $BB_1C_1C$ проходит через точки L и M.

4. Найдем четвертую вершину сечения, точку P, лежащую на какой-либо грани. Так как KL - отрезок, соединяющий середины вертикальных ребер, он параллелен плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость сечения проходит через прямую KL и точку M. Так как прямая KL параллельна плоскости $A_1B_1C_1D_1$, то линия пересечения плоскости сечения с плоскостью $A_1B_1C_1D_1$ будет прямой, параллельной KL.

Эта прямая проходит через точку M и параллельна вектору $\vec{KL} = (1-0, 0-0, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = (1,0,0)$. Значит, в верхней грани сечение является отрезком прямой, параллельной оси Ox (и ребру $A_1B_1$). Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ в точке P.

Точка M имеет координаты $(1, \frac{1}{2}, 1)$. Прямая, проходящая через M и параллельная $\vec{KL}$, имеет $y=\frac{1}{2}$ и $z=1$. Точка P, лежащая на ребре $A_1D_1$ (где $x=0$), будет иметь координаты $P(0, \frac{1}{2}, 1)$. Эта точка является серединой ребра $A_1D_1$.

Таким образом, сечение является четырехугольником KLMP, вершины которого — середины ребер $AA_1$, $BB_1$, $B_1C_1$ и $A_1D_1$.

Определение вида и площади сечения:

Рассмотрим четырехугольник KLMP с вершинами $K(0, 0, \frac{1}{2})$, $L(1, 0, \frac{1}{2})$, $M(1, \frac{1}{2}, 1)$ и $P(0, \frac{1}{2}, 1)$.

Найдем векторы его сторон:

$\vec{KL} = (1-0, 0-0, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = (1, 0, 0)$

$\vec{LM} = (1-1, \frac{1}{2}-0, 1-\frac{1}{2}) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

$\vec{MP} = (0-1, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-1) = (-1, 0, 0)$

$\vec{PK} = (0-0, 0-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-1) = (0, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

Так как $\vec{KL} = -\vec{MP}$ и $\vec{LM} = -\vec{PK}$, противоположные стороны параллельны и равны, значит KLMP — параллелограмм.

Найдем длины смежных сторон:

$|\vec{KL}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{LM}| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проверим, является ли параллелограмм прямоугольником, вычислив скалярное произведение векторов смежных сторон $\vec{KL}$ и $\vec{LM}$:

$\vec{KL} \cdot \vec{LM} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, угол между сторонами KL и LM равен $90^{\circ}$. Следовательно, сечение KLMP является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон:

$S_{KLMP} = |\vec{KL}| \cdot |\vec{LM}| = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Сечением является прямоугольник, вершины которого находятся в серединах ребер $AA_1$, $BB_1$, $B_1C_1$ и $A_1D_1$. Площадь этого сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1 см, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$ — правильный
Длина ребра $a = AB = BC = CD = DA = AC = BD = 1 \text{ см}$
Секущая плоскость проходит через точки K, L, M, где K — середина AB, L — середина BC, M — середина CD.

В системе СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$

Решение:

1. Построение сечения.
Пусть K, L, M — середины ребер AB, BC и CD соответственно. Секущая плоскость $\alpha$ определяется этими тремя точками.

Отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC в треугольнике ABC. Следовательно, KL является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, отрезок KL параллелен стороне AC и его длина равна половине длины AC: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a$.

Аналогично, отре

3. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$; все ребра которой равны 1 см, проходящее через середины ребер $AB, BC, A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.
Длина всех ребер $a = 1$ см.
Сечение проходит через точки $K, L, M$, где:
$K$ — середина ребра $AB$.
$L$ — середина ребра $BC$.
$M$ — середина ребра $A_1B_1$.

В системе СИ:
$a = 0.01$ м.

Найти:

$S_{сеч}$ — площадь сечения.

Решение:

1. Построим сечение. Соединим точки $K$ и $L$, так как они лежат в одной плоскости нижнего основания $(ABC)$. Отрезок $KL$ является частью искомого сечения. Поскольку $K$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, то $KL$ — его средняя линия. По свойству средней линии, $KL$ параллельна $AC$ и равна половине ее длины: $KL = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

2. Соединим точки $K$ и $M$, так как они лежат в одной плоскости боковой грани $(ABB_1A_1)$. Отрезок $KM$ также является частью сечения.

3. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ по параллельным прямым. Следовательно, прямая, по которой секущая плоскость пересекает верхнее основание, должна быть параллельна прямой $KL$. Так как $KL \parallel AC$, то искомая прямая в верхнем основании должна быть параллельна $A_1C_1$. Проведем через точку $M$ (середину $A_1B_1$) прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$ и пересекает ребро $B_1C_1$ в его середине. Обозначим эту точку $N$. Таким образом, $N$ — середина $B_1C_1$, а отрезок $MN$ — линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием. Длина $MN$ равна: $MN = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

4. Соединим точки $L$ и $N$, лежащие в плоскости грани $(BCC_1B_1)$, и точки $M$ и $K$, лежащие в плоскости грани $(ABB_1A_1)$. Полученный четырехугольник $KLNM$ и есть искомое сечение.

5. Определим вид четырехугольника $KLNM$. Мы установили, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN = 0.5$ см. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит, $KLNM$ — параллелограмм.

6. Найдем длины боковых сторон параллелограмма. Так как призма правильная и все ребра равны 1 см, ее боковые грани являются квадратами со стороной 1 см. В квадрате $ABB_1A_1$ отрезок $KM$ соединяет середины противоположных сторон $AB$ и $A_1B_1$. Следовательно, $KM$ параллелен $AA_1$ и $BB_1$ и равен им по длине: $KM = AA_1 = 1$ см. Аналогично, в квадрате $BCC_1B_1$ отрезок $LN$ соединяет середины противоположных сторон $BC$ и $B_1C_1$. Следовательно, $LN = BB_1 = 1$ см.

7. Теперь определим, является ли параллелограмм $KLNM$ прямоугольником. Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, она является прямой. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, $AA_1 \perp (ABC)$. Поскольку $KM \parallel AA_1$, то и $KM \perp (ABC)$. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $KL$ лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, $KM \perp KL$, то есть $\angle MKL = 90^\circ$.

8. Параллелограмм, имеющий прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $KLNM$ — это прямоугольник со сторонами $KL=0.5$ см и $KM=1$ см.

9. Найдем площадь этого прямоугольника: $S_{сеч} = S_{KLNM} = KL \cdot KM = 0.5 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $0.5 \text{ см}^2$.

4. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $CC_1$, $A_1 B_1$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (длина ребра $a=1$).
Сечение проходит через точки $M$, $N$, $K$, где:
$M$ — середина ребра $BB_1$.
$N$ — середина ребра $CC_1$.
$K$ — середина ребра $A_1B_1$.

Найти:
Описать сечение и найти его площадь $S$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AD(Ox)$, $AB(Oy)$ и $AA_1(Oz)$.

Координаты вершин, необходимых для нахождения середин ребер: $A_1(0,0,1)$, $B(0,1,0)$, $B_1(0,1,1)$, $C(1,1,0)$, $C_1(1,1,1)$.

Найдем координаты точек $M$, $N$ и $K$:

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(0, 1, \frac{1}{2}\right)$.
$N = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$.
$K = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$.

Искомое сечение — это плоский многоугольник, проходящий через точки $K, M, N$. Так как секущая плоскость пересекает параллельные грани куба, то линии пересечения с этими гранями параллельны. Это означает, что сечение является параллелограммом. Пусть четвертая вершина этого параллелограмма — точка $L$. Тогда должно выполняться векторное равенство $\vec{KL} = \vec{MN}$.

Найдем вектор $\vec{MN}$: $\vec{MN} = N - M = (1-0, 1-1, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = (1, 0, 0)$.

Теперь найдем координаты точки $L$: $L = K + \vec{MN} = (0, \frac{1}{2}, 1) + (1, 0, 0) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.

Точка $L(1, \frac{1}{2}, 1)$ является серединой ребра $D_1C_1$ (находится между $D_1(1,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$). Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $KMNL$, вершины которого являются серединами ребер $A_1B_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $D_1C_1$.

Чтобы найти площадь, определим вид четырехугольника $KMNL$. Найдем вектор $\vec{KM}$: $\vec{KM} = M - K = (0-0, 1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-1) = (0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Найдем длины смежных сторон $MN$ и $KM$: $|\vec{MN}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.
$|\vec{KM}| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим, является ли параллелограмм $KMNL$ прямоугольником, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{KM}$: $\vec{MN} \cdot \vec{KM} = (1)(0) + (0)(\frac{1}{2}) + (0)(-\frac{1}{2}) = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, угол между сторонами $MN$ и $KM$ прямой. Следовательно, сечение $KMNL$ — это прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: $S = |\vec{MN}| \cdot |\vec{KM}| = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечением является прямоугольник, вершины которого — середины ребер $A_1B_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $D_1C_1$. Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.