Страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Найдите радиус сферы, описанной около правильной призмы, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная призма, все ребра которой равны $a = 1$ см.

$a = 0.01$ м

Найти:

$R$ — радиус описанной сферы.

Решение:

В условии задачи не указан тип правильной призмы, то есть не уточняется, какой правильный многоугольник лежит в ее основании. Однако условие, что все ребра равны, для правильной четырехугольной призмы означает, что данная призма является кубом. Этот случай является наиболее классическим для подобных задач, поэтому будем решать задачу для куба с ребром $a = 1$ см.

Радиус сферы, описанной около многогранника, можно найти, зная его ключевые размеры. Для прямой призмы радиус описанной сферы $R$ связан с высотой призмы $H$ и радиусом $r$ окружности, описанной около основания, по формуле:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

В нашем случае призма является кубом, поэтому ее высота $H$ равна длине ребра основания $a$.

$H = a = 1$ см.

Основанием куба является квадрат со стороной $a = 1$ см. Радиус $r$ окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d_{осн}$.

Найдем диагональ основания, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и его диагональю:

$d_{осн} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Следовательно, радиус окружности, описанной около основания, равен:

$r = \frac{d_{осн}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь мы можем подставить найденные значения $r$ и $H$ в формулу для радиуса описанной сферы:

$R^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$R = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Альтернативный способ:

Радиус сферы, описанной около куба, равен половине его пространственной диагонали $d$. Пространственная диагональ куба с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

При $a = 1$ см, пространственная диагональ равна $d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Радиус описанной сферы $R$ равен половине этой диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: радиус описанной сферы равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ см.

8. Около правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 1 см, описана сфера радиусом 2 см. Найдите высоту призмы.

Дано:

Правильная треугольная призма, вписанная в сферу. Сторона основания призмы $a = 1$ см. Радиус описанной сферы $R_{сф} = 2$ см.

Перевод в систему СИ: $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$; $R_{сф} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Высоту призмы $H$.

Решение:

Поскольку призма правильная, ее основаниями являются равносторонние треугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все вершины призмы лежат на поверхности описанной сферы. Центр описанной сферы $O$ для такой призмы находится на середине отрезка, соединяющего центры $O_1$ и $O_2$ окружностей, описанных около оснований призмы. Таким образом, расстояние от центра сферы до центра каждого из оснований равно половине высоты призмы, то есть $\frac{H}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный следующими отрезками:

• гипотенуза — радиус сферы $R_{сф}$, соединяющий центр сферы $O$ с любой вершиной призмы (например, $A_1$);
• первый катет — половина высоты призмы $\frac{H}{2}$, то есть расстояние от центра сферы $O$ до центра основания $O_1$;
• второй катет — радиус окружности, описанной около основания призмы, $R_{осн}$, то есть расстояние от центра основания $O_1$ до вершины $A_1$.

По теореме Пифагора для этого треугольника ($ΔOO_1A_1$) можно записать следующее соотношение:

$R_{сф}^2 = (\frac{H}{2})^2 + R_{осн}^2$

Сначала найдем радиус окружности, описанной около основания призмы. Основание — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Формула для радиуса описанной окружности для равностороннего треугольника:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение стороны основания $a = 1$ см:

$R_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь подставим известные значения $R_{сф} = 2$ см и $R_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см в уравнение теоремы Пифагора:

$2^2 = (\frac{H}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$

$4 = \frac{H^2}{4} + \frac{1}{3}$

Выразим из уравнения член, содержащий высоту $H$:

$\frac{H^2}{4} = 4 - \frac{1}{3}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{H^2}{4} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$

Теперь найдем квадрат высоты $H^2$:

$H^2 = 4 \cdot \frac{11}{3} = \frac{44}{3}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{44}{3}} = \frac{\sqrt{44}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Для получения окончательного вида ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{2\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{33}}{3}$ см.

Ответ: $H = \frac{2\sqrt{33}}{3}$ см.

9. Около правильной треугольной призмы, высота которой равна 1 см, описана сфера радиусом 1 см. Найдите сторону основания призмы.

Дано:

Призма — правильная треугольная

Высота призмы $h = 1$ см

Радиус описанной сферы $R_{сф} = 1$ см

Перевод в систему СИ:

$h = 0.01$ м

$R_{сф} = 0.01$ м

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Поскольку призма правильная, её основаниями являются равносторонние треугольники. Центр сферы, описанной около прямой призмы (а правильная призма является прямой), находится на середине высоты, соединяющей центры оснований. Обозначим радиус сферы как $R_{сф}$, высоту призмы как $h$, радиус окружности, описанной около основания, как $R_{осн}$, и сторону основания как $a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус окружности, описанной около основания ($R_{осн}$), и половина высоты призмы ($\frac{h}{2}$), а гипотенузой — радиус описанной сферы ($R_{сф}$). Эта связь следует из того, что любая вершина призмы удалена от центра сферы на расстояние, равное радиусу этой сферы.

По теореме Пифагора можем записать следующее соотношение:

$R_{сф}^2 = R_{осн}^2 + (\frac{h}{2})^2$

Выразим из этой формулы квадрат радиуса окружности, описанной около основания:

$R_{осн}^2 = R_{сф}^2 - (\frac{h}{2})^2$

Подставим известные значения $R_{сф} = 1$ см и $h = 1$ см (для удобства вычисления проведем в сантиметрах):

$R_{осн}^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем сам радиус $R_{осн}$:

$R_{осн} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R_{осн}$ связан со стороной формулой:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону основания $a$:

$a = R_{осн} \cdot \sqrt{3}$

Подставим найденное значение $R_{осн}$:

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: сторона основания призмы равна $1.5$ см.

10. Найдите радиус сферы, описанной около прямой треугольной призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 см, и высотой призмы равна 2 см.

Дано:

Тип фигуры: прямая треугольная призма
Основание: прямоугольный треугольник
Катет $a = 1$ см
Катет $b = 1$ см
Высота призмы $H = 2$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м
$b = 0.01$ м
$H = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около прямой призмы, находится на середине высоты, проходящей через центр окружности, описанной около основания призмы. Радиус $R$ такой сферы можно найти по формуле, связывающей его с радиусом $r$ окружности, описанной около основания, и высотой призмы $H$:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Сначала найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания. В основании лежит прямоугольный треугольник с катетами $a = 1$ см и $b = 1$ см. Для нахождения $r$ нам нужна гипотенуза $c$. По теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$c = \sqrt{2}$ см

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см

Высота призмы по условию равна $H = 2$ см. Теперь мы можем подставить значения $r$ и $H$ в исходную формулу для нахождения радиуса сферы $R$:

$R^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{2}{2})^2$

$R^2 = \frac{2}{4} + 1^2$

$R^2 = \frac{1}{2} + 1$

$R^2 = \frac{3}{2}$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $R$:

$R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см

Ответ: радиус описанной сферы равен $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

11. Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.
Длина стороны основания: $a = 1$ см.
Высота призмы (длина бокового ребра): $h = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной призмы, совпадает с центром симметрии самой призмы. Этот центр находится на середине высоты, соединяющей центры оснований.

Радиус $R$ описанной сферы — это расстояние от ее центра до любой вершины призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина высоты призмы $\frac{h}{2}$ и радиус $r_{осн}$ окружности, описанной около основания призмы. Гипотенузой этого треугольника будет искомый радиус сферы $R$.

По теореме Пифагора: $R^2 = (r_{осн})^2 + (\frac{h}{2})^2$

Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a=1$ см. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне: $r_{осн} = a = 1$ см.

Высота призмы по условию также равна 1 см: $h = 1$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу: $R^2 = 1^2 + (\frac{1}{2})^2$

Выполним вычисления: $R^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти радиус $R$: $R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

12. Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.

13.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны.
Длина ребра $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. По условию, все ее ребра равны $a=1$ см. Это означает, что сторона основания $AB=BC=CD=DA=a=1$ см, и боковые ребра $SA=SB=SC=SD=a=1$ см.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, которое проходит через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $SAC$. Данный треугольник вписан в большую окружность описанной сферы, следовательно, радиус этой окружности является искомым радиусом сферы $R$.

Найдем длины сторон треугольника $SAC$:

1. Боковые стороны треугольника $SA$ и $SC$ равны боковым ребрам пирамиды: $SA = SC = a = 1$ см.

2. Основание треугольника $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.
$AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Итак, мы имеем треугольник $SAC$ со сторонами $SA=1$ см, $SC=1$ см и $AC=\sqrt{2}$ см.

Применим к треугольнику $SAC$ теорему, обратную теореме Пифагора, чтобы проверить, является ли он прямоугольным. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$SA^2 + SC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Так как выполняется равенство $AC^2 = SA^2 + SC^2$, треугольник $SAC$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $S$ ($\angle ASC = 90^\circ$).

Известно, что радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. В треугольнике $SAC$ гипотенузой является сторона $AC$.

Следовательно, радиус описанной сферы $R$ равен:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

13. Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра — 2 см.

Дано:

Тип фигуры: правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания: $a = 1$ см

Боковое ребро: $l = 2$ см

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы: $R$

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус $R$ такой сферы можно найти по формуле: $R = \frac{l^2}{2H}$, где $l$ - боковое ребро пирамиды, а $H$ - ее высота.

Сначала найдем высоту пирамиды $H$. Высота $H$, боковое ребро $l$ и радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания, образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Таким образом, по теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R_{осн}^2$, откуда $H = \sqrt{l^2 - R_{осн}^2}$.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a$. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне:

$R_{осн} = a = 0.01$ м.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = \sqrt{l^2 - R_{осн}^2} = \sqrt{(0.02)^2 - (0.01)^2} = \sqrt{0.0004 - 0.0001} = \sqrt{0.0003} = \sqrt{3 \cdot 10^{-4}} = 10^{-2}\sqrt{3}$ м.

Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной сферы:

$R = \frac{l^2}{2H} = \frac{(0.02)^2}{2 \cdot 10^{-2}\sqrt{3}} = \frac{0.0004}{2\sqrt{3} \cdot 10^{-2}} = \frac{4 \cdot 10^{-4}}{2\sqrt{3} \cdot 10^{-2}} = \frac{2 \cdot 10^{-2}}{\sqrt{3}}$ м.

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{2 \cdot 10^{-2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 10^{-2}$ м.

Переведем ответ обратно в сантиметры, так как исходные данные были в сантиметрах:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 10^{-2} \text{ м} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

14. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 см. Одно из боковых ребер равно 2 см и перпендикулярно плоскости основания. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Основание пирамиды - правильный треугольник со стороной $a = 3$ см.

Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, его длина $h = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.03$ м

$h = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Пусть дана пирамида $SABC$, где основание $ABC$ — правильный треугольник, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Таким образом, $SA$ является высотой пирамиды, $h = SA = 2$ см.

Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех вершин пирамиды, то есть $OA = OB = OC = OS = R$, где $R$ — радиус сферы.

Из условия $OA = OB = OC$ следует, что проекция центра сферы $O$ на плоскость основания $(ABC)$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$. Обозначим центр описанной окружности основания как $O_b$. Линия, проходящая через $O_b$ и перпендикулярная плоскости $(ABC)$, является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин $A$, $B$ и $C$. Центр сферы $O$ должен лежать на этой линии.

Из условия $OA = OS$ следует, что центр сферы $O$ лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $SA$ и проходящей через его середину. Так как ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, эта плоскость будет параллельна основанию и находиться на высоте $h/2$ от него.

Таким образом, центр сферы $O$ находится на высоте $z = h/2$ над плоскостью основания, а его проекцией на эту плоскость является точка $O_b$.

Теперь мы можем найти радиус сферы $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_bB$. Его катеты — это $OO_b$ (расстояние от центра сферы до плоскости основания) и $O_bB$ (радиус описанной окружности основания $R_b$). Гипотенуза $OB$ — это радиус описанной сферы $R$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = OB^2 = (O_bB)^2 + (OO_b)^2$

Здесь $O_bB = R_b$ и $OO_b = z = h/2$. Следовательно, формула для нахождения радиуса описанной сферы имеет вид:

$R^2 = R_b^2 + (h/2)^2$

1. Найдем радиус $R_b$ описанной окружности правильного треугольника со стороной $a = 3$ см.

$R_b = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

2. Подставим известные значения в формулу для радиуса сферы $R$.

$h = 2$ см, $R_b = \sqrt{3}$ см.

$R^2 = (\sqrt{3})^2 + (\frac{2}{2})^2 = 3 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ см$^2$.

$R = \sqrt{4} = 2$ см.

Проведем вычисления в системе СИ:

$a = 0.03$ м, $h = 0.02$ м.

$R_b = \frac{0.03}{\sqrt{3}}$ м.

$R^2 = (\frac{0.03}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{0.02}{2})^2 = \frac{0.0009}{3} + (0.01)^2 = 0.0003 + 0.0001 = 0.0004$ м$^2$.

$R = \sqrt{0.0004} = 0.02$ м, что соответствует 2 см.

Ответ: $2$ см.

15. Ребро $SC$ пирамиды $SABC$ равно 2 см и перпендикулярно плоскости основания $ABC$, угол $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC = 1$ см. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Дано:

Пирамида $SABC$

$SC \perp (ABC)$

$SC = 2 \text{ см}$

$\triangle ABC$ - основание, $\angle ACB = 90^\circ$

$AC = 1 \text{ см}$

$BC = 1 \text{ см}$

$SC = 0.02 \text{ м}$
$AC = 0.01 \text{ м}$
$BC = 0.01 \text{ м}$

Найти:

$R$ - радиус описанной сферы.

Решение:

Центр $O$ сферы, описанной около пирамиды $SABC$, является точкой, равноудаленной от всех ее вершин $S, A, B, C$.

1. Рассмотрим основание пирамиды — треугольник $ABC$. Это прямоугольный треугольник, так как по условию $\angle ACB = 90^\circ$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AB = \sqrt{2}$ см.

Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Тогда $M$ — центр окружности, описанной около $\triangle ABC$. Радиус этой окружности $r$ равен расстоянию от центра до любой из вершин треугольника, например $CM$:

$r = CM = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Множество точек, равноудаленных от вершин основания $A, B, C$, представляет собой прямую $l$, проходящую через центр описанной окружности $M$ и перпендикулярную плоскости основания $(ABC)$. Так как по условию ребро $SC \perp (ABC)$, то прямая $l$ параллельна ребру $SC$.

3. Множество точек, равноудаленных от вершин $S$ и $C$, представляет собой плоскость $\alpha$, которая является серединным перпендикуляром к отрезку $SC$. Эта плоскость проходит через середину $K$ отрезка $SC$ и перпендикулярна ему. Так как $SC \perp (ABC)$, то плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(ABC)$ и находится на расстоянии $KC = \frac{SC}{2}$ от нее.

$KC = \frac{2}{2} = 1$ см.

4. Центр описанной сферы $O$ является точкой пересечения прямой $l$ и плоскости $\alpha$. Расстояние от точки $O$ до плоскости основания $(ABC)$ равно расстоянию от плоскости $\alpha$ до плоскости $(ABC)$, то есть $OM = KC = 1$ см. Так как прямая $l$ (на которой лежит $O$) перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то отрезок $OM$ перпендикулярен любому отрезку в этой плоскости, в частности $MC$.

5. Таким образом, треугольник $\triangle OMC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OMC = 90^\circ$. Гипотенуза этого треугольника $OC$ является радиусом $R$ описанной сферы. По теореме Пифагора:

$R^2 = OC^2 = OM^2 + MC^2$

Подставим найденные значения $OM = 1$ см и $MC = r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см:

$R^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

Ответ:

Радиус сферы, описанной около пирамиды, равен $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

16. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 см, и плоские углы при вершине равны $90^\circ$.

Дано:

Тип пирамиды: правильная треугольная

Длина бокового ребра, $l = 1$ см

Плоские углы при вершине, $\alpha = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:

$l = 0.01$ м

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$

Решение:

Пусть S - вершина пирамиды, а ABC - её основание. По условию, пирамида является правильной треугольной. Также дано, что боковые ребра $SA = SB = SC = l = 0.01$ м, а плоские углы при вершине равны $90^\circ$, то есть $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$.

Условие с прямыми углами при вершине позволяет удобно расположить пирамиду в декартовой системе координат. Поместим вершину S в начало координат (0, 0, 0), а боковые ребра SA, SB и SC направим вдоль осей Ox, Oy и Oz соответственно.

В этом случае координаты вершин пирамиды будут:

S(0, 0, 0)

A($l$, 0, 0) = (0.01, 0, 0)

B(0, $l$, 0) = (0, 0.01, 0)

C(0, 0, $l$) = (0, 0, 0.01)

Центр описанной сферы, точка O($x$, $y$, $z$), равноудалена от всех четырех вершин пирамиды S, A, B, C. Расстояние от центра сферы до любой из этих вершин равно радиусу $R$.

Запишем это условие через равенство квадратов расстояний:

$OS^2 = OA^2 = OB^2 = OC^2 = R^2$

Подставим координаты вершин в уравнения:

$OS^2 = x^2 + y^2 + z^2$

$OA^2 = (x - l)^2 + y^2 + z^2$

$OB^2 = x^2 + (y - l)^2 + z^2$

$OC^2 = x^2 + y^2 + (z - l)^2$

Приравнивая $OS^2$ последовательно к $OA^2$, $OB^2$ и $OC^2$, получаем систему уравнений для нахождения координат центра сферы:

1. $x^2 + y^2 + z^2 = (x - l)^2 + y^2 + z^2 \implies x^2 = x^2 - 2lx + l^2 \implies 2lx = l^2 \implies x = \frac{l}{2}$

2. $x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - l)^2 + z^2 \implies y^2 = y^2 - 2ly + l^2 \implies 2ly = l^2 \implies y = \frac{l}{2}$

3. $x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - l)^2 \implies z^2 = z^2 - 2lz + l^2 \implies 2lz = l^2 \implies z = \frac{l}{2}$

Таким образом, центр описанной сферы O имеет координаты $(\frac{l}{2}, \frac{l}{2}, \frac{l}{2})$.

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра O до любой из вершин, например, до вершины S(0, 0, 0):

$R^2 = OS^2 = (\frac{l}{2} - 0)^2 + (\frac{l}{2} - 0)^2 + (\frac{l}{2} - 0)^2 = (\frac{l}{2})^2 + (\frac{l}{2})^2 + (\frac{l}{2})^2 = 3 \cdot \frac{l^2}{4}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} = \frac{l\sqrt{3}}{2}$

Подставим числовое значение длины бокового ребра $l = 1$ см:

$R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

В системе СИ ($l = 0.01$ м):

$R = \frac{0.01 \cdot \sqrt{3}}{2} = 0.005\sqrt{3}$ м.

Ответ:

Радиус описанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12 $см^2$. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда, $S_{грани} = 12 \text{ см}^2$.

Длина ребра, перпендикулярного этой грани, $h = 4 \text{ см}$.

$S_{грани} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0012 \text{ м}^2$.
$h = 4 \text{ см} = 4 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.04 \text{ м}$.

Найти:

Объем параллелепипеда, $V$.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле произведения площади основания на высоту:

$V = S_{основания} \cdot h$

В качестве основания ($S_{основания}$) мы можем взять грань, площадь которой дана в условии. Таким образом, $S_{основания} = S_{грани} = 12 \text{ см}^2$.

Ребро, перпендикулярное этой грани, является высотой ($h$) параллелепипеда. Следовательно, $h = 4 \text{ см}$.

Подставим известные значения в формулу и вычислим объем:

$V = 12 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 48 \text{ см}^3$.

Ответ: $48 \text{ см}^3$.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен $24 \text{ см}^3$. Одно из его ребер равно $3 \text{ см}$. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Дано:

Объем прямоугольного параллелепипеда $V = 24 \text{ см}^3$
Длина одного из его ребер $c = 3 \text{ см}$

$V = 24 \text{ см}^3 = 24 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 24 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$
$c = 3 \text{ см} = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

$S_{\perp}$ - площадь грани, перпендикулярной данному ребру.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) можно вычислить как произведение площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$).

$V = S_{осн} \cdot h$

В прямоугольном параллелепипеде грань является перпендикулярной к ребру, если это ребро не лежит в плоскости данной грани. Если мы примем данное ребро длиной $c = 3 \text{ см}$ за высоту параллелепипеда ($h = c$), то грань, перпендикулярная этому ребру, будет являться основанием. Таким образом, искомая площадь - это площадь основания ($S_{\perp} = S_{осн}$).

Из формулы объема выразим площадь основания:

$S_{осн} = \frac{V}{h}$

Подставим в формулу известные значения из условия задачи: $V = 24 \text{ см}^3$ и $h = 3 \text{ см}$.

$S_{\perp} = \frac{24 \text{ см}^3}{3 \text{ см}} = 8 \text{ см}^2$

Ответ: 8 см².

3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен $60 \text{ см}^3$. Площадь одной его грани равна $12 \text{ см}^2$. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Дано:

Объем прямоугольного параллелепипеда $V = 60 \text{ см}^3$

Площадь одной из его граней $S_{\text{грани}} = 12 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:

$V = 60 \text{ см}^3 = 60 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 60 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 6 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

$S_{\text{грани}} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани ($h$).

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда можно вычислить по формуле: $V = S_{\text{основания}} \cdot h$, где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания, а $h$ - высота, проведенная к этому основанию.

В данной задаче в качестве основания можно рассматривать грань, площадь которой нам известна ($S_{\text{грани}}$). Тогда искомое ребро, перпендикулярное этой грани, будет являться высотой ($h$) параллелепипеда.

Таким образом, формула принимает вид: $V = S_{\text{грани}} \cdot h$.

Выразим из этой формулы искомое ребро $h$:

$h = \frac{V}{S_{\text{грани}}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{60 \text{ см}^3}{12 \text{ см}^2} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

перпендикулярно этой грани.

4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 см и 6 см. Объем параллелепипеда равен $48 \text{ см}^3$. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед

Первое ребро, $a = 2 \text{ см}$

Второе ребро, $b = 6 \text{ см}$

Объем, $V = 48 \text{ см}^3$

Перевод в систему СИ:

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$V = 48 \text{ см}^3 = 48 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 48 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 4.8 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

Третье ребро, $c$

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (длины, ширины и высоты), которые соответствуют длинам трех ребер, выходящих из одной вершины. Формула для вычисления объема:

$V = a \cdot b \cdot c$

где $a, b, c$ – длины ребер параллелепипеда.

Чтобы найти длину третьего ребра $c$, необходимо выразить ее из формулы объема:

$c = \frac{V}{a \cdot b}$

Подставим в эту формулу известные значения. Для удобства вычислений будем использовать исходные единицы измерения (сантиметры).

$c = \frac{48 \text{ см}^3}{2 \text{ см} \cdot 6 \text{ см}}$

Сначала вычислим произведение длин известных ребер в знаменателе:

$2 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

Теперь разделим объем на полученную площадь основания:

$c = \frac{48 \text{ см}^3}{12 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

Таким образом, длина третьего ребра параллелепипеда, выходящего из той же вершины, равна 4 см.

Ответ: 4 см.