Номер 16, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 см, и плоские углы при вершине равны $90^\circ$.

Дано:

Тип пирамиды: правильная треугольная

Длина бокового ребра, $l = 1$ см

Плоские углы при вершине, $\alpha = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:

$l = 0.01$ м

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$

Решение:

Пусть S - вершина пирамиды, а ABC - её основание. По условию, пирамида является правильной треугольной. Также дано, что боковые ребра $SA = SB = SC = l = 0.01$ м, а плоские углы при вершине равны $90^\circ$, то есть $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$.

Условие с прямыми углами при вершине позволяет удобно расположить пирамиду в декартовой системе координат. Поместим вершину S в начало координат (0, 0, 0), а боковые ребра SA, SB и SC направим вдоль осей Ox, Oy и Oz соответственно.

В этом случае координаты вершин пирамиды будут:

S(0, 0, 0)

A($l$, 0, 0) = (0.01, 0, 0)

B(0, $l$, 0) = (0, 0.01, 0)

C(0, 0, $l$) = (0, 0, 0.01)

Центр описанной сферы, точка O($x$, $y$, $z$), равноудалена от всех четырех вершин пирамиды S, A, B, C. Расстояние от центра сферы до любой из этих вершин равно радиусу $R$.

Запишем это условие через равенство квадратов расстояний:

$OS^2 = OA^2 = OB^2 = OC^2 = R^2$

Подставим координаты вершин в уравнения:

$OS^2 = x^2 + y^2 + z^2$

$OA^2 = (x - l)^2 + y^2 + z^2$

$OB^2 = x^2 + (y - l)^2 + z^2$

$OC^2 = x^2 + y^2 + (z - l)^2$

Приравнивая $OS^2$ последовательно к $OA^2$, $OB^2$ и $OC^2$, получаем систему уравнений для нахождения координат центра сферы:

1. $x^2 + y^2 + z^2 = (x - l)^2 + y^2 + z^2 \implies x^2 = x^2 - 2lx + l^2 \implies 2lx = l^2 \implies x = \frac{l}{2}$

2. $x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - l)^2 + z^2 \implies y^2 = y^2 - 2ly + l^2 \implies 2ly = l^2 \implies y = \frac{l}{2}$

3. $x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - l)^2 \implies z^2 = z^2 - 2lz + l^2 \implies 2lz = l^2 \implies z = \frac{l}{2}$

Таким образом, центр описанной сферы O имеет координаты $(\frac{l}{2}, \frac{l}{2}, \frac{l}{2})$.

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния от центра O до любой из вершин, например, до вершины S(0, 0, 0):

$R^2 = OS^2 = (\frac{l}{2} - 0)^2 + (\frac{l}{2} - 0)^2 + (\frac{l}{2} - 0)^2 = (\frac{l}{2})^2 + (\frac{l}{2})^2 + (\frac{l}{2})^2 = 3 \cdot \frac{l^2}{4}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} = \frac{l\sqrt{3}}{2}$

Подставим числовое значение длины бокового ребра $l = 1$ см:

$R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

В системе СИ ($l = 0.01$ м):

$R = \frac{0.01 \cdot \sqrt{3}}{2} = 0.005\sqrt{3}$ м.

Ответ:

Радиус описанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.