Номер 14, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 см. Одно из боковых ребер равно 2 см и перпендикулярно плоскости основания. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Основание пирамиды - правильный треугольник со стороной $a = 3$ см.

Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, его длина $h = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.03$ м

$h = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Пусть дана пирамида $SABC$, где основание $ABC$ — правильный треугольник, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Таким образом, $SA$ является высотой пирамиды, $h = SA = 2$ см.

Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех вершин пирамиды, то есть $OA = OB = OC = OS = R$, где $R$ — радиус сферы.

Из условия $OA = OB = OC$ следует, что проекция центра сферы $O$ на плоскость основания $(ABC)$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$. Обозначим центр описанной окружности основания как $O_b$. Линия, проходящая через $O_b$ и перпендикулярная плоскости $(ABC)$, является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин $A$, $B$ и $C$. Центр сферы $O$ должен лежать на этой линии.

Из условия $OA = OS$ следует, что центр сферы $O$ лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $SA$ и проходящей через его середину. Так как ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, эта плоскость будет параллельна основанию и находиться на высоте $h/2$ от него.

Таким образом, центр сферы $O$ находится на высоте $z = h/2$ над плоскостью основания, а его проекцией на эту плоскость является точка $O_b$.

Теперь мы можем найти радиус сферы $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_bB$. Его катеты — это $OO_b$ (расстояние от центра сферы до плоскости основания) и $O_bB$ (радиус описанной окружности основания $R_b$). Гипотенуза $OB$ — это радиус описанной сферы $R$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = OB^2 = (O_bB)^2 + (OO_b)^2$

Здесь $O_bB = R_b$ и $OO_b = z = h/2$. Следовательно, формула для нахождения радиуса описанной сферы имеет вид:

$R^2 = R_b^2 + (h/2)^2$

1. Найдем радиус $R_b$ описанной окружности правильного треугольника со стороной $a = 3$ см.

$R_b = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

2. Подставим известные значения в формулу для радиуса сферы $R$.

$h = 2$ см, $R_b = \sqrt{3}$ см.

$R^2 = (\sqrt{3})^2 + (\frac{2}{2})^2 = 3 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ см$^2$.

$R = \sqrt{4} = 2$ см.

Проведем вычисления в системе СИ:

$a = 0.03$ м, $h = 0.02$ м.

$R_b = \frac{0.03}{\sqrt{3}}$ м.

$R^2 = (\frac{0.03}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{0.02}{2})^2 = \frac{0.0009}{3} + (0.01)^2 = 0.0003 + 0.0001 = 0.0004$ м$^2$.

$R = \sqrt{0.0004} = 0.02$ м, что соответствует 2 см.

Ответ: $2$ см.