Номер 9, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Около правильной треугольной призмы, высота которой равна 1 см, описана сфера радиусом 1 см. Найдите сторону основания призмы.

Дано:

Призма — правильная треугольная

Высота призмы $h = 1$ см

Радиус описанной сферы $R_{сф} = 1$ см

Перевод в систему СИ:

$h = 0.01$ м

$R_{сф} = 0.01$ м

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Поскольку призма правильная, её основаниями являются равносторонние треугольники. Центр сферы, описанной около прямой призмы (а правильная призма является прямой), находится на середине высоты, соединяющей центры оснований. Обозначим радиус сферы как $R_{сф}$, высоту призмы как $h$, радиус окружности, описанной около основания, как $R_{осн}$, и сторону основания как $a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус окружности, описанной около основания ($R_{осн}$), и половина высоты призмы ($\frac{h}{2}$), а гипотенузой — радиус описанной сферы ($R_{сф}$). Эта связь следует из того, что любая вершина призмы удалена от центра сферы на расстояние, равное радиусу этой сферы.

По теореме Пифагора можем записать следующее соотношение:

$R_{сф}^2 = R_{осн}^2 + (\frac{h}{2})^2$

Выразим из этой формулы квадрат радиуса окружности, описанной около основания:

$R_{осн}^2 = R_{сф}^2 - (\frac{h}{2})^2$

Подставим известные значения $R_{сф} = 1$ см и $h = 1$ см (для удобства вычисления проведем в сантиметрах):

$R_{осн}^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем сам радиус $R_{осн}$:

$R_{осн} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R_{осн}$ связан со стороной формулой:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону основания $a$:

$a = R_{осн} \cdot \sqrt{3}$

Подставим найденное значение $R_{осн}$:

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: сторона основания призмы равна $1.5$ см.