Номер 6, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите ребро правильного тетраэдра, вписанного в единичную сферу.

Дано:

Правильный тетраэдр вписан в единичную сферу.

Радиус описанной сферы $R = 1$.

Найти:

Длину ребра тетраэдра $a$.

Решение:

Для правильного тетраэдра существует установленное соотношение между длиной его ребра $a$ и радиусом $R$ описанной вокруг него сферы. Центр описанной сферы совпадает с центром тяжести (центроидом) тетраэдра. Этот центр делит высоту тетраэдра $H$ в отношении 3:1, считая от вершины.

Радиус описанной сферы равен большей из этих частей, то есть:

$R = \frac{3}{4}H$

Высоту правильного тетраэдра $H$ можно выразить через длину его ребра $a$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой тетраэдра $H$, боковым ребром $a$ (которое является гипотенузой) и отрезком, соединяющим основание высоты с вершиной основания тетраэдра. Этот отрезок является радиусом окружности, описанной вокруг основания тетраэдра, $r_{осн}$.

Основание тетраэдра — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Радиус описанной около него окружности вычисляется по формуле:

$r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Теперь по теореме Пифагора для указанного прямоугольного треугольника (с катетами $H$ и $r_{осн}$ и гипотенузой $a$):

$H^2 + r_{осн}^2 = a^2$

Подставим выражение для $r_{осн}$:

$H^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2$

$H^2 + \frac{a^2}{3} = a^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = a\frac{\sqrt{6}}{3}$

Теперь подставим найденное выражение для высоты $H$ в формулу для радиуса описанной сферы $R$:

$R = \frac{3}{4} H = \frac{3}{4} \left( a\frac{\sqrt{6}}{3} \right) = a\frac{3\sqrt{6}}{12} = a\frac{\sqrt{6}}{4}$

Мы получили общую формулу, связывающую радиус описанной сферы и ребро правильного тетраэдра: $R = a\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Выразим из этой формулы ребро $a$:

$a = \frac{4R}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$a = \frac{4R\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = \frac{4R\sqrt{6}}{6} = \frac{2R\sqrt{6}}{3}$

По условию задачи, сфера является единичной, следовательно, её радиус $R = 1$. Подставим это значение в полученную формулу для $a$:

$a = \frac{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $ \frac{2\sqrt{6}}{3} $.