Номер 21, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Единичная сфера вписана в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 4 см. Найдите высоту пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Радиус вписанной сферы (единичная сфера) $r = 1 \text{ см}$.

Сторона основания $a = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

(Примечание: для решения данной задачи перевод в систему СИ не требуется, так как все единицы измерения согласованы. Расчеты будут производиться в сантиметрах).

$r = 0.01 \text{ м}$

$a = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Высоту пирамиды $H$.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и квадратным основанием $ABCD$. Пусть $SO=H$ - высота пирамиды, где $O$ - центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

Центр вписанной сферы в правильную пирамиду всегда лежит на ее высоте. Обозначим центр сферы как $Q$. Поскольку сфера вписана, она касается плоскости основания пирамиды в его центре $O$. Следовательно, расстояние от центра сферы $Q$ до основания равно радиусу сферы, то есть $QO = r = 1 \text{ см}$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO$ и апофемы боковых граней. Пусть $M$ - середина стороны $CD$. Тогда $SM$ - апофема (высота боковой грани $SCD$). Сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$, где $\angle O = 90^\circ$.

В этом треугольнике катет $SO$ - это искомая высота пирамиды $H$. Катет $OM$ - это расстояние от центра квадрата до середины его стороны, что равно половине длины стороны основания.$OM = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.

Вписанная сфера касается не только основания, но и всех боковых граней. Точка касания с гранью $SCD$ будет лежать на ее высоте (апофеме) $SM$. Расстояние от центра сферы $Q$ до апофемы $SM$ равно радиусу $r$. Проведем из точки $Q$ перпендикуляр $QK$ к апофеме $SM$. Таким образом, $QK = r = 1 \text{ см}$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOM$ (прямой угол при $O$) и $\triangle SQK$ (прямой угол при $K$).

Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол при вершине $S$ ($\angle MSO$).

Из подобия треугольников $\triangle SQK \sim \triangle SMO$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{QK}{OM} = \frac{SQ}{SM}$

Найдем длины отрезков, входящих в эту пропорцию:

• $QK = r = 1 \text{ см}$.

• $OM = 2 \text{ см}$.

• $SQ = SO - QO = H - r = H - 1$.

• $SM$ - гипотенуза в треугольнике $\triangle SOM$. По теореме Пифагора:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + 2^2} = \sqrt{H^2 + 4}$.

Подставим все найденные значения в уравнение пропорции:

$\frac{1}{2} = \frac{H - 1}{\sqrt{H^2 + 4}}$

Для решения этого уравнения возведем обе его части в квадрат. Поскольку высота $H$ должна быть больше радиуса $r=1$ (так как центр сферы $Q$ находится между $S$ и $O$), обе части уравнения положительны.

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{(H - 1)^2}{(\sqrt{H^2 + 4})^2}$

$\frac{1}{4} = \frac{H^2 - 2H + 1}{H^2 + 4}$

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot (H^2 + 4) = 4 \cdot (H^2 - 2H + 1)$

$H^2 + 4 = 4H^2 - 8H + 4$

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

$0 = 4H^2 - H^2 - 8H + 4 - 4$

$3H^2 - 8H = 0$

Вынесем общий множитель $H$ за скобки:

$H(3H - 8) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения:

$H_1 = 0$ или $3H - 8 = 0$.

Решение $H = 0$ не имеет физического смысла, так как высота пирамиды должна быть положительной величиной.

Из второго уравнения находим $H$:

$3H = 8$

$H = \frac{8}{3}$

Таким образом, высота пирамиды равна $\frac{8}{3}$ см.

Ответ: $H = \frac{8}{3} \text{ см}$.