Номер 18, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, боковые ребра которой равны 1 см, и плоские углы при вершине равны $90^\circ$.

Дано:

Правильная треугольная пирамида
Боковые ребра $l = 1$ см
Плоские углы при вершине $ \alpha = 90^\circ $

Перевод в систему СИ:
$l = 0.01$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основанием пирамиды является правильный треугольник $ABC$. Боковые ребра равны $SA = SB = SC = l = 1$ см. Плоские углы при вершине $S$ равны $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$.

Боковые грани пирамиды ($SAB$, $SBC$, $SCA$) являются равными прямоугольными равнобедренными треугольниками. Найдем длину стороны основания $a = AB$. По теореме Пифагора для треугольника $SAB$:
$a^2 = AB^2 = SA^2 + SB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$a = \sqrt{2}$ см.

Радиус вписанной в пирамиду сферы $r$ можно найти по формуле, связывающей объем пирамиды $V$ и площадь ее полной поверхности $S_{полн}$: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Найдем объем пирамиды. Сначала вычислим площадь основания $S_{осн}$. Так как $ABC$ — правильный треугольник со стороной $a = \sqrt{2}$ см, его площадь равна: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Теперь найдем высоту пирамиды $H=SO$, где $O$ — центр основания. В правильном треугольнике $O$ является центром описанной окружности. Радиус этой окружности $R = AO$ вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $H^2 = SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$H = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды $V$: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$ см$^3$.

Далее найдем площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трех одинаковых боковых граней. Каждая грань — это прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 см. $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.
$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Наконец, вычислим радиус вписанной сферы $r$: $r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3 + \sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = \frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ см.