Номер 17, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна 2 см, и двугранные углы при основании равны $60^\circ$.

Дано:

Правильная треугольная пирамида

Сторона основания $a = 2$ см

Двугранный угол при основании $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту $SO$ и апофему $SM$ боковой грани (где $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания, $M$ – середина стороны основания $BC$).

Данное сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$ с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике катет $SO$ является высотой пирамиды, катет $OM$ – радиусом окружности, вписанной в треугольник основания, а угол $\angle SMO$ – это линейный угол двугранного угла при основании, то есть по условию $\angle SMO = \alpha = 60^\circ$.

Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Он также является точкой пересечения высоты с биссектрисами двугранных углов. В нашем сечении $SOM$ точка $I$ будет лежать на пересечении высоты $SO$ и биссектрисы угла $\angle SMO$.

Рассмотрим треугольник $IOM$. Он является прямоугольным, так как $IO$ – это часть высоты пирамиды $SO$, которая перпендикулярна основанию. Катет $IO$ равен искомому радиусу вписанной сферы, то есть $IO = r$. Угол $\angle IMO$ является половиной двугранного угла при основании, поскольку $MI$ – биссектриса угла $\angle SMO$. Таким образом, $\angle IMO = \frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике $IOM$ имеем:

$\text{tg}(\angle IMO) = \frac{IO}{OM}$

Отсюда выражаем искомый радиус $r$:

$r = IO = OM \cdot \text{tg}(\angle IMO) = OM \cdot \text{tg}(30^\circ)$

Далее необходимо найти длину отрезка $OM$. $OM$ – это радиус окружности, вписанной в правильный треугольник (основание пирамиды) со стороной $a$. Формула для вычисления этого радиуса:

$OM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим в формулу значение стороны основания $a = 2$ см:

$OM = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь мы можем вычислить радиус вписанной сферы $r$, подставив найденное значение $OM$ и значение тангенса $30^\circ$ (известно, что $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$):

$r = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ см.

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{1}{3}$ см.