Номер 11, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

призмы и радиус вписанной сферы.

11. В правильную шестиугольную призму вписана сфера радиусом 1 см. Найдите сторону основания и высоту призмы.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, в которую вписана сфера.

Радиус вписанной сферы $r = 1$ см.

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Сторону основания призмы $a$, высоту призмы $H$.

Решение:

Поскольку сфера вписана в правильную шестиугольную призму, она касается верхнего и нижнего оснований, а также всех боковых граней призмы.

Высота призмы $H$ равна расстоянию между ее основаниями. Так как сфера касается обоих оснований, ее диаметр $d$ должен быть равен высоте призмы.

$H = d = 2r$

Подставив значение радиуса $r = 1$ см, получаем высоту призмы:

$H = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$.

Теперь найдем сторону основания. Основанием призмы является правильный шестиугольник. Так как сфера касается всех боковых граней, то окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, параллельной основаниям и проходящей через центр сферы, будет вписана в шестиугольник, который является сечением призмы этой же плоскостью. Радиус этой окружности равен радиусу сферы, то есть $r = 1$ см.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности (апофема) $r$ и его сторона $a$ связаны соотношением:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Выразим из этой формулы сторону $a$:

$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Подставим известное значение $r = 1$ см:

$a = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ см}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

Ответ: сторона основания призмы равна $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см, высота призмы равна 2 см.