Номер 8, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Сфера вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$. Найдите радиус сферы и высоту призмы.

Дано:

Призма - прямая, четырехугольная.
Основание призмы - ромб.
Сторона ромба, $a = 1$ см.
Острый угол ромба, $\alpha = 60^{\circ}$.
В призму вписана сфера.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы $R$ - ?
Высоту призмы $H$ - ?

Решение:

Поскольку сфера вписана в прямую призму, она касается обоих оснований (верхнего и нижнего) и всех боковых граней призмы.

1. Из того, что сфера касается верхнего и нижнего оснований призмы, следует, что расстояние между основаниями, то есть высота призмы $H$, равно диаметру сферы $2R$.
$H = 2R$

2. Из того, что сфера касается боковых граней, следует, что ее экваториальное сечение (параллельное основаниям) представляет собой окружность, вписанную в основание призмы — ромб. Радиус этой вписанной окружности $r$ равен радиусу сферы $R$.
$R = r$

3. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте этого ромба $h_{ромба}$.
$h_{ромба} = 2r$

Из этих соотношений следует, что высота призмы равна высоте ромба, лежащего в ее основании:
$H = 2R = 2r = h_{ромба}$

4. Найдем высоту ромба $h_{ромба}$. Высоту ромба можно вычислить по формуле, используя его сторону $a$ и острый угол $\alpha$:
$h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$

Подставим данные из условия задачи: $a = 1$ см и $\alpha = 60^{\circ}$.
$h_{ромба} = 1 \cdot \sin(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

5. Теперь мы можем найти высоту призмы $H$. Она равна высоте ромба:
$H = h_{ромба} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

6. Радиус вписанной сферы $R$ равен половине высоты призмы (или половине высоты ромба):
$R = \frac{H}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{4}$ см, высота призмы равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.