Номер 9, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Сфера радиусом 1 см вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой ромб с острым углом $60^\circ$. Найдите сторону основания $a$ и высоту призмы $h$.

Дано:
Призма - прямая, четырехугольная.
Основание призмы - ромб.
Острый угол ромба: $\alpha = 60°$.
В призму вписана сфера.
Радиус вписанной сферы: $R = 1$ см.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:
Сторону основания $a$ и высоту призмы $h$.

Решение:

Нахождение высоты призмы h

Поскольку сфера вписана в прямую призму, она касается ее верхнего и нижнего оснований. Высота прямой призмы $h$ равна расстоянию между ее основаниями. Это расстояние, в свою очередь, равно диаметру вписанной сферы $D$. Высоту призмы $h$ можно найти по формуле: $h = D = 2R$. Подставив значение радиуса $R = 1$ см, получаем: $h = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Ответ: высота призмы $h = 2$ см.

Нахождение стороны основания a

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям. В сечении будет ромб, в который вписана окружность (большой круг сферы). Радиус этой вписанной окружности равен радиусу сферы, $r = R = 1$ см. Высота ромба $h_{ромба}$ равна диаметру вписанной в него окружности. $h_{ромба} = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см. Высота ромба связана с его стороной $a$ и острым углом $\alpha$ по формуле: $h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$. Подставим известные значения: $\alpha = 60°$ и $h_{ромба} = 2$ см. $2 = a \cdot \sin(60°)$. Так как $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получим: $2 = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда выразим сторону основания $a$: $a = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: сторона основания $a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.