Номер 16, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильный тетраэдр вписана единичная сфера. Найдите ребро этого тетраэдра.

Дано:

В правильный тетраэдр вписана единичная сфера. Это означает, что радиус вписанной сферы $r = 1$.

Найти:

Длину ребра тетраэдра $a$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся соотношением между радиусом вписанной в правильный тетраэдр сферы $r$ и длиной его ребра $a$.

Существует два основных способа найти эту связь.

Способ 1: Геометрический.

Центр вписанной сферы в правильный тетраэдр совпадает с его геометрическим центром (центроидом), который является точкой пересечения высот тетраэдра. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус вписанной сферы $r$ равен расстоянию от центра до любой грани, что составляет меньшую часть высоты, то есть $1/4$ от всей высоты $H$.

$r = \frac{H}{4}$

Высоту правильного тетраэдра $H$ можно выразить через его ребро $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой тетраэдра $H$, ребром $a$ (в качестве гипотенузы) и радиусом $R$ описанной окружности вокруг основания (в качестве катета). Основанием является правильный треугольник со стороной $a$. Радиус описанной окружности для него равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = a^2$

$H^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = a^2$

$H^2 + \frac{a^2}{3} = a^2$

$H^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь подставим выражение для $H$ в формулу для радиуса вписанной сферы:

$r = \frac{H}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

Способ 2: Через объемы.

Объем правильного тетраэдра $V$ можно вычислить по формуле: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

С другой стороны, объем тетраэдра можно представить как сумму объемов четырех малых пирамид с общей вершиной в центре вписанной сферы и основаниями, совпадающими с гранями тетраэдра. Высота каждой такой пирамиды равна радиусу вписанной сферы $r$.

Площадь одной грани (правильного треугольника со стороной $a$) равна $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Объем тетраэдра равен $V = 4 \cdot (\frac{1}{3} S_{грани} \cdot r) = \frac{4}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot r = \frac{a^2\sqrt{3}}{3}r$.

Приравняем два выражения для объема:

$\frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{a^2\sqrt{3}}{3}r$

Разделим обе части на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$\frac{a\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}r \implies a = r \cdot \frac{12\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = r \cdot \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = r \cdot \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2r\sqrt{6}$

Используя любую из полученных формул, связывающих $a$ и $r$ (например, $r = \frac{a\sqrt{6}}{12}$), выразим ребро $a$:

$a = \frac{12r}{\sqrt{6}} = \frac{12r\sqrt{6}}{6} = 2r\sqrt{6}$

По условию задачи, сфера единичная, то есть $r = 1$. Подставим это значение:

$a = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$.