Номер 13, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом сечений. Все вычисления для удобства будем проводить в сантиметрах.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. По условию, все ребра пирамиды равны $a = 1$ см. Это означает, что основание — квадрат со стороной $a=1$ см, а боковые грани — четыре равных равносторонних треугольника со стороной $a=1$ см.

Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и середины противоположных сторон основания, например, $M$ и $K$ сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Сечением является равнобедренный треугольник $SMK$. Вписанная в пирамиду сфера касается основания и боковых граней, поэтому ее сечение будет окружностью, вписанной в треугольник $SMK$. Радиус этой окружности равен радиусу $r$ вписанной сферы.

1. Найдем элементы треугольника $SMK$.

Основание треугольника $MK$ равно стороне квадрата $ABCD$: $MK = AB = a = 1$ см.

Боковые стороны $SM$ и $SK$ являются апофемами (высотами боковых граней). Так как боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$, их высота равна:

$SM = SK = h_a = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Найдем высоту пирамиды $H = SO$, которая также является высотой треугольника $SMK$. Точка $O$ — середина отрезка $MK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$:

Катет $OM = \frac{MK}{2} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

По теореме Пифагора, $SO^2 = SM^2 - OM^2$:

$H^2 = SO^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$H = SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Найдем радиус $r$ вписанной в треугольник $SMK$ окружности. Для этого используем формулу $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$, где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь треугольника $SMK$:

$S_{SMK} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ см$^2$.

Полупериметр треугольника $SMK$:

$p_{SMK} = \frac{MK + SM + SK}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ см.

4. Вычислим радиус $r$:

$r = \frac{S_{SMK}}{p_{SMK}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{3})}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$r = \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} - 1)}{2(1 + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2((\sqrt{3})^2 - 1^2)} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2(3 - 1)} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ см.

Ответ: $r = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ см.