Номер 7, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В призму, в основании которой равнобедренный треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 3 см, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту призмы.

Дано:

Призма, в основании которой лежит равнобедренный треугольник.

Стороны основания: $a = 3$ см, $b = 3$ см, $c = 2$ см.

В призму вписана сфера.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.03$ м

$b = 0.03$ м

$c = 0.02$ м

Найти:

Радиус сферы $R$

Высоту призмы $H$

Решение:

Для того чтобы в призму можно было вписать сферу, призма должна быть прямой. Центр вписанной сферы будет равноудалён от оснований и боковых граней призмы. Из этого следует, что высота призмы $H$ равна диаметру вписанной сферы ($2R$), а радиус сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник, лежащий в основании призмы.

1. Найдем радиус сферы $R$.

Радиус сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание. Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Найдем полупериметр $p$ треугольника со сторонами $a=3$ см, $b=3$ см, $c=2$ см:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 3 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Для нахождения площади $S$ воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{4(4-3)(4-3)(4-2)} = \sqrt{4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$, который и будет являться радиусом сферы $R$:

$R = r = \frac{S}{p} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Найдем высоту призмы $H$.

Как было сказано ранее, высота прямой призмы, в которую вписана сфера, равна диаметру этой сферы:

$H = 2R$

$H = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см, высота призмы равна $\sqrt{2}$ см.