Номер 12, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите радиус сферы, вписанной в единичный тетраэдр.

Дано:

Единичный правильный тетраэдр.

Длина ребра $a = 1$.

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Единичный тетраэдр — это правильный тетраэдр, все рёбра которого равны 1. Радиус вписанной в него сферы можно найти несколькими способами. Для развёрнутого ответа рассмотрим два из них.

Способ 1: Через объём и площадь поверхности

Радиус $r$ вписанной в выпуклый многогранник сферы можно найти по формуле, связывающей объём многогранника $V$ и площадь его полной поверхности $S_{полн}$:

$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Для использования этой формулы необходимо вычислить объём и площадь поверхности единичного тетраэдра.

1. Найдём площадь полной поверхности тетраэдра ($S_{полн}$).

Правильный тетраэдр состоит из четырёх одинаковых граней. Каждая грань является равносторонним треугольником со стороной $a=1$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставив значение $a=1$, получаем:

$S_{грани} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь полной поверхности тетраэдра равна сумме площадей четырёх граней:

$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

2. Найдём объём тетраэдра ($V$).

Объём правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Подставим значение $a=1$:

$V = \frac{1^3\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

3. Вычислим радиус вписанной сферы.

Теперь подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в исходную формулу для радиуса:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$r = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Способ 2: Через высоту тетраэдра

Центр вписанной в правильный тетраэдр сферы совпадает с его геометрическим центром (центроидом). Известно, что центроид делит высоту тетраэдра $H$ в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус вписанной сферы $r$ равен расстоянию от центра до любой из граней, что составляет $\frac{1}{4}$ высоты тетраэдра.

$r = \frac{1}{4}H$

Высота правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Для единичного тетраэдра с $a=1$ высота равна:

$H = 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Теперь найдём радиус вписанной сферы:

$r = \frac{1}{4} \cdot H = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{12}$.