Номер 14, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, у которой стороны основания равны 1 см, и двугранные углы при основании равны $60^{\circ}$.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная

Сторона основания, $a = 1$ см

Двугранный угол при основании, $\alpha = 60^\circ$

В системе СИ:
$a = 0.01$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте и равноудалён от плоскости основания и всех боковых граней. Расстояние от центра сферы до плоскости основания и до боковых граней равно радиусу вписанной сферы $r$.

Для нахождения радиуса рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через её высоту $H$ и апофему боковой грани $L$. Это сечение является равнобедренным треугольником. Вписанная в пирамиду сфера будет представлена в этом сечении как вписанная окружность радиуса $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $h_{осн}$ и апофемой боковой грани $L$. Угол между катетом $h_{осн}$ и гипотенузой $L$ как раз и является двугранным углом при основании $\alpha$.

Сначала найдем длину апофемы основания $h_{осн}$. Основание — правильный шестиугольник со стороной $a$. Апофема правильного шестиугольника (она же — радиус вписанной в него окружности) вычисляется по формуле:
$h_{осн} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Подставляем значение $a = 1$ см:
$h_{осн} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см

Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус вписанной сферы $r$ (как отрезок высоты пирамиды) и апофема основания $h_{осн}$. Гипотенузой будет отрезок, соединяющий центр основания с биссектрисой двугранного угла. Угол, прилежащий к катету $h_{осн}$ и противолежащий катету $r$, равен половине двугранного угла при основании, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем следующее тригонометрическое соотношение:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{h_{осн}}$

Выразим из этой формулы искомый радиус $r$:
$r = h_{осн} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим известные значения: $h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $\alpha = 60^\circ$.
$\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
Значение тангенса этого угла: $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь можем вычислить радиус:
$r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} = 0.5$ см

Ответ: $0.5$ см.